Réussite Haïti – Physique NS4
Fiche 18 – Vecteur position, vitesse et accélération
Équations horaires – dérivées – mouvement en deux dimensions.
Objectif : comprendre comment représenter un mouvement à l’aide du vecteur position et obtenir vitesse et accélération par dérivation.
1. Vecteur position r(t)
La position d’un point M dans le plan se décrit par :
r(t) = ( x(t), y(t) )
où :
- x(t) : position horizontale,
- y(t) : position verticale.
2. Vecteur vitesse v(t)
La vitesse est la dérivée du vecteur position :
v(t) = ( x′(t), y′(t) )
Significations :
- x′(t) = dérivée de x(t) → vitesse horizontale ;
- y′(t) = dérivée de y(t) → vitesse verticale.
Norme de la vitesse
v = √( x′² + y′² )
3. Vecteur accélération a(t)
L’accélération est la dérivée de la vitesse :
a(t) = ( x″(t), y″(t) )
où :
- x″(t) = dérivée seconde → accélération horizontale ;
- y″(t) = dérivée seconde → accélération verticale.
4. Équations horaires d’un mouvement
Grâce à r(t), v(t) et a(t), on décrit complètement le mouvement en deux dimensions.
Cas général :
x(t) = x₀ + v₀ₓ t + (1/2) aₓ t²
y(t) = y₀ + v₀ᵧ t + (1/2) aᵧ t²
5. Trajectoire
La trajectoire est obtenue en éliminant t entre x(t) et y(t).
- si y est constant → mouvement horizontal rectiligne ;
- si x et y dépendent de t² → trajectoire parabolique ;
- si x(t) = R cos(ωt) et y(t) = R sin(ωt) → cercle.
6. Points essentiels
- r(t) = (x(t), y(t)) décrit la position.
- v(t) = (x′(t), y′(t)) est obtenue par dérivation.
- a(t) = (x″(t), y″(t)) est la dérivée de v(t).
- Les équations horaires permettent d’étudier le mouvement complet.
- La trajectoire s’obtient en reliant x et y.