Variables aléatoires discrètes, espérance, variance
1. Variable aléatoire discrète
Une variable aléatoire discrète X est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue d’une expérience aléatoire, et qui ne peut prendre qu’un nombre fini ou dénombrable de valeurs.
Exemple :
On lance un dé équilibré à 6 faces.
On définit X = “numéro obtenu”.
Alors X peut prendre les valeurs : 1, 2, 3, 4, 5, 6.
On lance un dé équilibré à 6 faces.
On définit X = “numéro obtenu”.
Alors X peut prendre les valeurs : 1, 2, 3, 4, 5, 6.
2. Loi de probabilité de X
La loi de probabilité de X est le tableau qui donne chaque valeur possible xᵢ et la probabilité associée P(X = xᵢ).
On doit avoir :
- P(X = xᵢ) ≥ 0 pour tout i ;
- P(X = x₁) + P(X = x₂) + … + P(X = xₙ) = 1.
Exemple : dé équilibré
| Valeur xᵢ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| P(X = xᵢ) | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
3. Espérance mathématique E(X)
L’espérance E(X) est la “valeur moyenne théorique” de la variable aléatoire.
E(X) = Σ xᵢ·P(X = xᵢ)
Exemple 1 : dé équilibré
E(X) = 1·1/6 + 2·1/6 + 3·1/6 + 4·1/6 + 5·1/6 + 6·1/6
E(X) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 21/6 = 3,5.
E(X) = 1·1/6 + 2·1/6 + 3·1/6 + 4·1/6 + 5·1/6 + 6·1/6
E(X) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 21/6 = 3,5.
Exemple 2 : jeu de gain
On joue à un jeu avec les règles suivantes :
• Si on tire “gagnant” : gain de 10 gourdes avec probabilité 0,2.
• Sinon : gain de 0 gourde avec probabilité 0,8.
Loi de X (gain) :
E(X) = 0·0,8 + 10·0,2 = 2.
Le gain moyen théorique du jeu est de 2 gourdes.
On joue à un jeu avec les règles suivantes :
• Si on tire “gagnant” : gain de 10 gourdes avec probabilité 0,2.
• Sinon : gain de 0 gourde avec probabilité 0,8.
Loi de X (gain) :
| Gain xᵢ | 0 | 10 |
|---|---|---|
| P(X = xᵢ) | 0,8 | 0,2 |
4. Variance V(X) et écart-type σ(X)
La variance mesure la dispersion des valeurs de X autour de son espérance.
V(X) = E(X²) − [E(X)]²
où E(X²) = Σ xᵢ²·P(X = xᵢ).
L’écart-type est défini par :
σ(X) = √V(X)
Exemple (jeu précédent) :
Valeurs : 0 et 10 ; probabilités : 0,8 et 0,2 ; E(X) = 2.
1. Calcul de E(X²) :
E(X²) = 0²·0,8 + 10²·0,2 = 0 + 100·0,2 = 20.
2. Variance :
V(X) = 20 − 2² = 20 − 4 = 16.
3. Écart-type :
σ(X) = √16 = 4.
Valeurs : 0 et 10 ; probabilités : 0,8 et 0,2 ; E(X) = 2.
1. Calcul de E(X²) :
E(X²) = 0²·0,8 + 10²·0,2 = 0 + 100·0,2 = 20.
2. Variance :
V(X) = 20 − 2² = 20 − 4 = 16.
3. Écart-type :
σ(X) = √16 = 4.
5. Étapes pour traiter un exercice NS4
- 1️⃣ Définir clairement la variable X (que représente-t-elle ? gain, nombre de succès…)
- 2️⃣ Construire la loi de probabilité de X (tableau).
- 3️⃣ Vérifier que la somme des probabilités est bien égale à 1.
- 4️⃣ Calculer E(X) = Σ xᵢ·P(X = xᵢ).
- 5️⃣ Si demandé, calculer E(X²) puis V(X) et σ(X).
💡 Astuce Réussite Haïti :
Toujours organiser les calculs dans un tableau (xᵢ, P(X = xᵢ), xᵢ², xᵢ·P, xᵢ²·P).
Cela évite les oublis et rend la correction plus claire.