Réussite Haïti - Plateforme de préparation des examens officiels haïtiens

Maths 9e AF · Thalès & triangles semblables

FICHE MATHS – 9ᵉ Année AF

Théorème de Thalès et triangles semblables

🎯 Objectif de la fiche

Comprendre et utiliser le théorème de Thalès dans un triangle, reconnaître des triangles semblables et exploiter les rapports de longueur pour calculer des mesures manquantes.

📘 1. Configuration de Thalès

Le théorème de Thalès s’applique dans un triangle lorsqu’une droite parallèle à l’un des côtés coupe les deux autres côtés.

On considère le triangle ABC. Un point D est sur [AB] et un point E est sur [AC]. Si la droite (DE) est parallèle à (BC), alors on peut appliquer le théorème de Thalès.

On écrit les longueurs dans le même ordre :
• sur le côté AB : A, D, B
• sur le côté AC : A, E, C

Schéma : triangle ABC avec D ∈ [AB], E ∈ [AC] et (DE) ∥ (BC).

⚠️ Pour appliquer Thalès correctement, les points doivent être placés dans le même ordre sur les côtés correspondants, et la droite intérieure doit être parallèle à un côté du triangle.

📘 2. Théorème de Thalès (forme directe)

Si, dans le triangle ABC, D ∈ [AB], E ∈ [AC] et (DE) ∥ (BC), alors :

AD/AB = AE/AC = DE/BC

Exemple 1

Dans le triangle ABC, D ∈ [AB], E ∈ [AC] et (DE) ∥ (BC). On sait que :
AD = 3 cm, AB = 5 cm, AC = 10 cm.

Calculer AE.

Par Thalès :
AD/AB = AE/AC
3/5 = AE/10
AE = 10 × 3/5 = 6 cm

Exemple 2

Dans le triangle ABC, D ∈ [AB], E ∈ [AC] et (DE) ∥ (BC). On sait que :
AD = 4 cm, AB = 10 cm, DE = 5 cm.

Calculer BC.

Par Thalès :
AD/AB = DE/BC
4/10 = 5/BC
4BC = 50
BC = 12,5 cm

📘 3. Triangles semblables

Deux triangles sont semblables lorsque :

• leurs angles sont égaux deux à deux ;
• leurs côtés correspondants sont proportionnels.

Dans la configuration de Thalès, les triangles ADE et ABC sont semblables.

Les angles correspondants sont égaux :
• l’angle A est commun,
• l’angle D correspond à l’angle B,
• l’angle E correspond à l’angle C.

On en déduit les rapports :

AD/AB = AE/AC = DE/BC

📘 4. Réciproque du théorème de Thalès

Si, dans un triangle ABC, avec D ∈ [AB] et E ∈ [AC], on a :

AD/AB = AE/AC

alors on peut conclure que (DE) ∥ (BC).

Exemple

On sait que :
AD = 4 cm, AB = 10 cm
AE = 6 cm, AC = 15 cm

Vérifions :
AD/AB = 4/10 = 2/5
AE/AC = 6/15 = 2/5

Les rapports sont égaux. Donc, par la réciproque du théorème de Thalès, (DE) est parallèle à (BC).

📘 5. Application pratique

Mesurer une hauteur inaccessible : par exemple la hauteur d’un arbre.

On plante un bâton vertical de 1,5 m. Son ombre mesure 2 m. L’ombre de l’arbre mesure 10 m.

Les triangles formés sont semblables.
h/10 = 1,5/2
h = 10 × 1,5/2
h = 7,5 m

La hauteur de l’arbre est donc de 7,5 m.

📘 6. Erreurs fréquentes à éviter

• Appliquer Thalès sans vérifier que les droites sont parallèles.
• Écrire les rapports dans le mauvais ordre.
• Confondre Thalès avec Pythagore :
  • Thalès → rapports de longueurs
  • Pythagore → carrés des longueurs

📝 7. Mini-quiz (3 questions)

1. Dans le triangle ABC, D ∈ [AB], E ∈ [AC] et (DE) ∥ (BC). Quel rapport est correct ?

AD/AB = AE/AC AD/AC = AB/AE DE/AC = AB/BC

2. Si AD/AB = AE/AC, que peut-on conclure ?

Le triangle ABC est rectangle La droite (DE) est parallèle à (BC) AD = AE

3. Lorsque deux triangles ont leurs côtés correspondants proportionnels, ils sont :

semblables forcément rectangles forcément de même aire

✅ Corrigé détaillé du mini-quiz

Question 1 – Bonne réponse : AD/AB = AE/AC.
Dans la configuration de Thalès, on compare les longueurs sur les côtés correspondants et dans le même ordre.

Question 2 – Bonne réponse : La droite (DE) est parallèle à (BC).
C’est la réciproque du théorème de Thalès.

Question 3 – Bonne réponse : semblables.
Deux triangles sont semblables lorsque leurs côtés correspondants sont proportionnels et leurs angles égaux deux à deux.

Réussite Haïti — Fiche de révision Mathématiques 9e AF