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Maths 9e AF · Triangle rectangle & Pythagore

FICHE MATHS – 9ᵉ Année AF

Triangle rectangle, théorème de Pythagore (direct & réciproque)

🎯 Objectif de la fiche

Reconnaître un triangle rectangle et utiliser le théorème de Pythagore (forme directe et réciproque) pour calculer une longueur ou vérifier qu’un triangle est rectangle.

📘 1. Triangle rectangle et vocabulaire

Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit (90°).

• Les deux côtés formant l’angle droit s’appellent les cathètes (ou côtés de l’angle droit).
• Le côté opposé à l’angle droit s’appelle l’hypoténuse.

Dans le triangle ABC rectangle en A :
• AB et AC : cathètes
• BC : hypoténuse

Schéma : triangle ABC rectangle en A (AB et AC cathètes, BC hypoténuse).

📘 2. Théorème de Pythagore (forme directe)

Dans tout triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Si le triangle est rectangle en A :   BC² = AB² + AC²

2.1 Calcul d’une longueur manquante (l’hypoténuse)

Triangle ABC rectangle en A, AB = 3 cm, AC = 4 cm.
Calculer BC.

BC² = AB² + AC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
BC = √25 = 5 cm.

2.2 Calculer une cathète

Triangle ABC rectangle en A, BC = 13 cm, AB = 5 cm.
Calculer AC.

BC² = AB² + AC²
13² = 5² + AC²
169 = 25 + AC²
AC² = 169 − 25 = 144
AC = √144 = 12 cm.

📘 3. Réciproque du théorème de Pythagore

Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.

Exemple :

On considère un triangle dont les côtés mesurent 6 cm, 8 cm et 10 cm. Le plus grand côté vaut 10 cm.

On calcule :
10² = 100
6² + 8² = 36 + 64 = 100
Comme 10² = 6² + 8², le triangle est donc rectangle.

📘 4. Applications pratiques

4.1 Distance entre deux points

Sur un plan, on se déplace de 9 m horizontalement et de 12 m verticalement. Quelle est la distance directe entre le point de départ et le point d’arrivée ?

On forme un triangle rectangle de cathètes 9 m et 12 m.
d² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225
d = √225 = 15 m.
La distance directe est donc de 15 m.

4.2 Vérifier un angle droit (exemple du menuisier)

Un menuisier veut vérifier si un cadre est bien rectangle. Il mesure les côtés (80 cm et 60 cm) et la diagonale (100 cm).

Vérification : 80² + 60² = 6400 + 3600 = 10 000, et 100² = 10 000.
Comme 80² + 60² = 100², le cadre est bien rectangle.

📘 5. Erreurs fréquentes à éviter

• Appliquer le théorème à un triangle qui n’est pas rectangle.
• Oublier que l’hypoténuse est toujours le plus grand côté.
• Se tromper dans les carrés : (a + b)² ≠ a² + b².

📝 6. Mini-quiz (3 questions)

1. Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est :

Le côté opposé à l’angle droit Un des côtés de l’angle droit Le plus petit côté

2. Un triangle a pour côtés 5 cm, 12 cm et 13 cm. Il est :

Rectangle Isocèle mais pas rectangle Ni rectangle ni isocèle

3. Dans un triangle rectangle, les côtés de l’angle droit mesurent 7 cm et 24 cm. L’hypoténuse mesure :

25 cm² 25 cm 31 cm

✅ Corrigé détaillé du mini-quiz

Question 1 – Bonne réponse : Le côté opposé à l’angle droit.
Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est toujours le côté opposé à l’angle droit et c’est le plus long côté.

Question 2 – Bonne réponse : Rectangle.
On vérifie : 13² = 5² + 12² → 169 = 25 + 144 = 169. Le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres : le triangle est donc rectangle (réciproque de Pythagore).

Question 3 – Bonne réponse : 25 cm.
Hypoténuse² = 7² + 24² = 49 + 576 = 625, donc l’hypoténuse mesure √625 = 25 cm.