Suites arithmétiques
1. Définition
Une suite (Uₙ) est dite arithmétique lorsqu’il existe un nombre réel r tel que :
Uₙ₊₁ = Uₙ + r
Le nombre r est appelé la raison de la suite et représente la variation fixe entre deux termes consécutifs.
2. Expression du terme général
Si U₀ est donné :
Uₙ = U₀ + n·r
Uₙ = U₀ + n·r
Si U₁ est donné :
Uₙ = U₁ + (n − 1)·r
Uₙ = U₁ + (n − 1)·r
3. Interprétation
• Si r > 0 → la suite augmente de manière régulière.
• Si r < 0 → la suite décroît régulièrement.
• Si r = 0 → la suite est constante.
4. Somme des n premiers termes
La somme Sₙ des n+1 premiers termes (de U₀ à Uₙ) est :
Sₙ = (n + 1) × (U₀ + Uₙ) / 2
📌 Astuce : utiliser Uₙ = U₀ + n·r avant de remplacer dans la formule de la somme.
5. Exemples guidés
Exemple 1 : déterminer Uₙ
U₀ = 4 et r = 5.
Alors :
Uₙ = 4 + 5n.
Le 50e terme vaut U₅₀ = 4 + 5×50 = 254.
U₀ = 4 et r = 5.
Alors :
Uₙ = 4 + 5n.
Le 50e terme vaut U₅₀ = 4 + 5×50 = 254.
Exemple 2 : suite décroissante
U₁ = 20 et r = −3.
Alors :
Uₙ = 20 + (n − 1)(−3) = 23 − 3n.
La suite décroît de 3 unités à chaque pas.
U₁ = 20 et r = −3.
Alors :
Uₙ = 20 + (n − 1)(−3) = 23 − 3n.
La suite décroît de 3 unités à chaque pas.
Exemple 3 : calcul d’une somme
Pour la suite Uₙ = 2 + 3n, calculer S₄ (de U₀ à U₄).
• U₀ = 2
• U₄ = 2 + 3×4 = 14
S₄ = (4+1)(2 + 14)/2 = 5×16/2 = 40.
Pour la suite Uₙ = 2 + 3n, calculer S₄ (de U₀ à U₄).
• U₀ = 2
• U₄ = 2 + 3×4 = 14
S₄ = (4+1)(2 + 14)/2 = 5×16/2 = 40.
6. Comment reconnaître une suite arithmétique ?
On calcule la différence entre deux termes consécutifs :
r = Uₙ₊₁ − Uₙ
Si ce résultat est constant, la suite est arithmétique.
💡 Toujours vérifier plusieurs écarts (U₂ − U₁, U₃ − U₂…) pour être certain.