Représentation graphique d’une fonction
1. Objectif
Tracer la courbe d’une fonction, ce n’est pas “au hasard”. On utilise trois outils principaux :
- les limites (aux bornes du domaine) ;
- les asymptotes (verticales, horizontales, obliques) ;
- les variations (tableau de f à partir de f′).
2. Asymptote verticale
Une droite d’équation x = a est une asymptote verticale si, en s’approchant de a, la fonction devient infinie :
limx→a⁺ f(x) = ±∞ ou limx→a⁻ f(x) = ±∞.
C’est très souvent le cas lorsque le dénominateur s’annule (et que le numérateur ne s’annule pas en même temps).
Exemple :
f(x) = 1/(x − 3).
Le dénominateur s’annule pour x = 3.
• x → 3⁺ ⇒ f(x) → +∞ ;
• x → 3⁻ ⇒ f(x) → −∞.
Donc la droite x = 3 est une asymptote verticale.
f(x) = 1/(x − 3).
Le dénominateur s’annule pour x = 3.
• x → 3⁺ ⇒ f(x) → +∞ ;
• x → 3⁻ ⇒ f(x) → −∞.
Donc la droite x = 3 est une asymptote verticale.
3. Asymptote horizontale
Une droite d’équation y = ℓ est une asymptote horizontale si :
limx→+∞ f(x) = ℓ ou limx→−∞ f(x) = ℓ.
Exemple :
f(x) = (2x² + 1)/(x² + 4).
Pour x → +∞, on factorise par x² :
f(x) = (2 + 1/x²)/(1 + 4/x²) → 2.
Donc la droite y = 2 est une asymptote horizontale (en ±∞).
f(x) = (2x² + 1)/(x² + 4).
Pour x → +∞, on factorise par x² :
f(x) = (2 + 1/x²)/(1 + 4/x²) → 2.
Donc la droite y = 2 est une asymptote horizontale (en ±∞).
4. Asymptote oblique
Une droite d’équation y = ax + b est une asymptote oblique si :
- limx→±∞ (f(x) − (ax + b)) = 0.
Méthode pratique :
- Calculer a = limx→±∞ f(x)/x (si cette limite existe et est finie) ;
- Puis b = limx→±∞ (f(x) − ax).
Exemple : idée générale
Si f(x) ≈ 3x − 2 pour x très grand, alors y = 3x − 2 est une asymptote oblique.
Si f(x) ≈ 3x − 2 pour x très grand, alors y = 3x − 2 est une asymptote oblique.
5. Rôle des limites dans le tracé
Les limites permettent de :
- repérer les comportements à l’infini (courbe qui monte, descend ou se stabilise) ;
- déterminer les asymptotes ;
- comprendre le sens d’arrivée de la courbe près des points interdits.
💡 Toujours commencer par les limites aux bornes du domaine (x → bornes du domaine, x → ±∞).
6. Variations et tableau de variations
Pour affiner la courbe, on utilise la dérivée f′ :
- On résout f′(x) = 0 pour trouver les points critiques ;
- On étudie le signe de f′(x) sur chaque intervalle ;
- On construit le tableau de variations de f.
Exemple :
f(x) = x² − 4x + 1.
f′(x) = 2x − 4 ; f′(x) = 0 ⇔ x = 2.
• pour x < 2 : f′(x) < 0 ⇒ f décroît ;
• pour x > 2 : f′(x) > 0 ⇒ f croît.
On obtient un minimum en x = 2, ce qui guide le tracé.
f(x) = x² − 4x + 1.
f′(x) = 2x − 4 ; f′(x) = 0 ⇔ x = 2.
• pour x < 2 : f′(x) < 0 ⇒ f décroît ;
• pour x > 2 : f′(x) > 0 ⇒ f croît.
On obtient un minimum en x = 2, ce qui guide le tracé.
7. Méthode complète pour tracer une courbe
Pour une fonction f donnée :
- 1️⃣ Trouver le domaine de définition Df.
- 2️⃣ Calculer les limites aux bornes de Df (y compris ±∞).
- 3️⃣ Chercher les asymptotes verticales (x = a), horizontales (y = ℓ) ou obliques (y = ax + b).
- 4️⃣ Calculer f′(x), étudier son signe et construire le tableau de variations.
- 5️⃣ Calculer quelques valeurs particulières de f(x) pour placer des points précis.
- 6️⃣ Tracer la courbe en respectant :
- les asymptotes ;
- les variations ;
- le comportement à l’infini et près des points interdits.
📌 Astuce Réussite Haïti :
Un bon graphique ≠ des dizaines de points au hasard,
mais quelques points bien choisis + limites + asymptotes + variations.