Probabilités : événements, opérations, arbres
1. Univers et événements
En probabilités, on commence par définir :
- L’univers Ω : l’ensemble de toutes les issues possibles d’une expérience.
- Un événement : un sous-ensemble de Ω (un groupe d’issues).
- Événement élémentaire : événement formé d’une seule issue.
- Événement impossible : ne peut jamais se produire.
- Événement certain : se produit à coup sûr (c’est Ω).
On lance un dé équilibré à 6 faces.
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
A : “obtenir un nombre pair” = {2, 4, 6}.
B : “obtenir 7” est un événement impossible.
2. Probabilité d’un événement (cas équiprobables)
Quand toutes les issues sont équiprobables (mêmes chances), la probabilité d’un événement E est :
P(E) = (nombre de cas favorables) / (nombre de cas possibles)
- Pour tout événement E : 0 ≤ P(E) ≤ 1.
- P(Ω) = 1 ; P(événement impossible) = 0.
Avec le dé à 6 faces :
P(“obtenir un nombre pair”) = 3/6 = 1/2.
3. Opérations sur les événements
- Complémentaire de A : noté Ā (ou Aᶜ) = “A ne se produit pas”.
- Intersection A ∩ B : “A et B se produisent en même temps”.
- Union A ∪ B : “A ou B se produit (ou les deux)”.
Formules utiles :
- P(Ā) = 1 − P(A)
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
P(A) = 0,6 ; P(B) = 0,3 ; P(A ∩ B) = 0,1.
Alors P(A ∪ B) = 0,6 + 0,3 − 0,1 = 0,8.
4. Événements incompatibles
Deux événements A et B sont dits incompatibles (ou disjoints) s’ils ne peuvent pas se produire en même temps :
A ∩ B = ∅
Dans ce cas :
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
On lance un dé.
A : “obtenir 2” ; B : “obtenir 5”.
A et B ne peuvent pas se produire ensemble ⇒ A ∩ B = ∅.
P(A ∪ B) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.
5. Événements indépendants (introduction)
Deux événements A et B sont indépendants si le fait que l’un se produise ne change pas la probabilité de l’autre. On a alors :
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
On lance une pièce équilibrée et un dé à 6 faces.
A : “pile” ; B : “obtenir 6”.
P(A) = 1/2 ; P(B) = 1/6.
P(A ∩ B) = 1/2 × 1/6 = 1/12.
6. Arbres de probabilité
Un arbre de probabilité permet de représenter pas à pas une expérience en plusieurs étapes (par exemple deux tirages successifs, deux décisions, etc.).
- Chaque branche porte une probabilité.
- La probabilité d’un chemin complet = produit des probabilités sur les branches.
- La probabilité d’un événement = somme des probabilités des chemins qui le réalisent.
On lance une pièce deux fois.
Première étape : pile (P) ou face (F). Deuxième étape : pile (P) ou face (F).
Tous les chemins ont la probabilité 1/4 : PP, PF, FP, FF.
P(“obtenir exactement une fois pile”) = P(PF) + P(FP) = 1/4 + 1/4 = 1/2.
7. Méthode générale NS4
- 1️⃣ Définir clairement l’univers Ω.
- 2️⃣ Décrire les événements avec des ensembles ou des phrases simples.
- 3️⃣ Utiliser les formules : P(Ā), P(A ∪ B), P(A ∩ B).
- 4️⃣ Reconnaître les cas d’incompatibilité ou d’indépendance.
- 5️⃣ Pour les expériences à plusieurs étapes, construire un arbre de probabilité.