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Mathématiques NS4 • Réussite Haïti

Primitive et intégrale

Fiche de révision complète – Analyse (aire, primitive, intégrale définie)

1️⃣ Notion de primitive

Définition

On appelle primitive d'une fonction f toute fonction F dérivable telle que :

F'(x) = f(x).

Une fonction admet en général une infinité de primitives, qui ne diffèrent que par une constante réelle.

Toutes les primitives de f sont de la forme F(x) + C, avec C ∈ ℝ.

2️⃣ Propriétés importantes

2.1 Linéarité

Si F est une primitive de f et G une primitive de g, alors pour tous réels a et b :

Une primitive de a·f(x) + b·g(x) est a·F(x) + b·G(x) + C.

2.2 Lien dérivée / primitive

• Si f(x) = g'(x), alors une primitive de f est g : ∫ f(x) dx = g(x) + C.
• Si ∫ f(x) dx = F(x) + C, alors F'(x) = f(x).

3️⃣ Primitives usuelles à connaître

Les primitives suivantes sont à maîtriser en NS4 (calcul d'aire, intégrales définies, équations différentielles simples, etc.).

Fonction f(x)	Primitive F(x)
xⁿ avec n ≠ −1	xⁿ⁺¹ / (n + 1) + C
1 / x	ln|x| + C
eˣ	eˣ + C
aˣ (a > 0, a ≠ 1)	aˣ / ln(a) + C
sin x	−cos x + C
cos x	sin x + C
sec² x = 1 / cos² x	tan x + C
1 / √(1 − x²)	arcsin x + C
1 / (1 + x²)	arctan x + C

4️⃣ Intégrale définie et interprétation géométrique

Définition

Soit f une fonction continue sur l'intervalle [a, b] et F une primitive de f. L'intégrale définie de f entre a et b est le nombre réel :

∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a).

Interprétation géométrique (aire)

• Si f(x) ≥ 0 sur [a, b], alors ∫_a^b f(x) dx représente l'aire sous la courbe de f, au-dessus de l'axe des abscisses, entre x = a et x = b.
• Si f change de signe, l'intégrale donne une aire algébrique (parties au-dessus positives, parties en dessous négatives).

5️⃣ Propriétés essentielles des intégrales

Linéarité

Pour tout a, b ∈ ℝ :

∫_a^b [α f(x) + β g(x)] dx = α ∫_a^b f(x) dx + β ∫_a^b g(x) dx.

Additivité sur un intervalle

∫_a^b f(x) dx + ∫_b^c f(x) dx = ∫_a^c f(x) dx.

Inversion des bornes

∫_b^{a f(x) dx = − ∫_ab f(x) dx.}

Fonction positive

Si f(x) ≥ 0 sur [a, b], alors

∫_a^b f(x) dx ≥ 0.

6️⃣ Techniques de calcul de primitives et d'intégrales

6.1 Primitive immédiate

On reconnaît une forme simple dont la primitive est connue (table des primitives).

Exemples

∫ 5x⁴ dx = 5 · x⁵ / 5 + C = x⁵ + C.

∫ 3eˣ dx = 3eˣ + C.

∫ cos x dx = sin x + C.

6.2 Factorisation

On peut parfois factoriser pour simplifier l'intégration.

∫ (3x² − 6x) dx = 3 ∫ (x² − 2x) dx.

6.3 Changement de variable simple

On pose u = g(x) lorsque l'on repère une expression dont la dérivée est présente dans l'intégrande.

Exemple

Calculer ∫ 2x e^(x²) dx.

On pose u = x² ⇒ du = 2x dx.

L'intégrale devient ∫ eᵘ du = eᵘ + C = e^(x²) + C.

7️⃣ Applications au calcul d'aires

Aire sous une courbe

Si f est continue et f(x) ≥ 0 sur [a, b] :

Aire = ∫_a^b f(x) dx.

Aire entre deux courbes

Si f(x) ≥ g(x) sur [a, b] :

Aire = ∫_a^b [f(x) − g(x)] dx.

8️⃣ Exemples corrigés

Exemple 1 – Primitive d'un polynôme

Trouver une primitive de f(x) = 4x³ − 2x + 5.

∫ (4x³ − 2x + 5) dx = ∫ 4x³ dx − ∫ 2x dx + ∫ 5 dx = 4 · x⁴ / 4 − 2 · x² / 2 + 5x + C = x⁴ − x² + 5x + C.

Exemple 2 – Intégrale définie simple

Calculer ∫₀² (3x² + 1) dx.

Une primitive est F(x) = x³ + x.

∫₀² (3x² + 1) dx = F(2) − F(0) = (8 + 2) − 0 = 10.

Exemple 3 – Aire entre deux courbes

On considère y = x² et y = 4x − x² sur [0, 2].

L'aire cherchée est :

A = ∫₀² [(4x − x²) − x²] dx = ∫₀² (4x − 2x²) dx.

Une primitive est F(x) = 2x² − (2/3)x³. A = F(2) − F(0) = (8 − 16/3) − 0 = 8/3.

Exemple 4 – Changement de variable

Calculer ∫₁² 2x / (x² + 1) dx.

On pose u = x² + 1 ⇒ du = 2x dx.

Quand x = 1, u = 2. Quand x = 2, u = 5.

∫₁² 2x / (x² + 1) dx = ∫₂⁵ (1 / u) du = ln(u) |₂⁵ = ln(5) − ln(2).

9️⃣ Erreurs fréquentes à éviter

• Oublier la constante + C dans une primitive.
• Confondre primitive (fonction) et intégrale définie (nombre).
• Oublier que ∫ (1 / x) dx = ln|x| + C.
• Penser que ∫ (f·g) dx = (∫ f dx)·(∫ g dx), ce qui est faux.
• Interpréter une intégrale comme une aire sans vérifier si la fonction change de signe.

🔟 Mini-quiz NS4

Questions rapides

1) Donner une primitive de 6x².

2) Calculer ∫₀¹ (2x + 3) dx.

3) Calculer ∫ cos x dx.

4) Donner l'aire sous f(x) = 2x sur [0, 3].

5) Calculer ∫ (3 / x) dx.

Afficher le corrigé

1) F(x) = 2x³ + C (car F'(x) = 6x²).

2) Primitive : x² + 3x. ∫₀¹ (2x + 3) dx = (1 + 3) − 0 = 4.

3) ∫ cos x dx = sin x + C.

4) Aire = ∫₀³ 2x dx = [x²]₀³ = 9.

5) ∫ (3 / x) dx = 3 ln|x| + C.