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Réussite Haïti — Examen type NS4

Mathématiques • Sujet type MENFP

⏱️ Mode examen : 2 h 30 📵 Calculatrice programmable interdite ✍️ Rédaction exigée ⏱️ 02:30:00 ▶️ Démarrer ⏸️ Pause

📘 Aide-mémoire (ouvrir si nécessaire)

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Fonctions

• Dérivées utiles : (ln x)′ = 1/x, (eˣ)′ = eˣ, (xⁿ)′ = n xⁿ⁻¹.
• Tangente en x=a : y=f′(a)(x−a)+f(a).
• lim (x→0⁺) ln x = −∞.

Complexes

• z=a+bi → z̄=a−bi, |z|=√(a²+b²).
• zz̄=|z|² et 1/z = z̄/|z|² (si z≠0).

Suites

• Arithmétique : Uₙ=U₀+nr.
• Géométrique : Uₙ=U₀ qⁿ.
• Si Uₙ₊₁=aUₙ+b, poser h=b/(a−1) et Vₙ=Uₙ+h.

Probabilités

• P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B).
• P(A|B)=P(A∩B)/P(B) si P(B)>0.

Statistiques

• Moyenne : x̄=(Σ x)/n.
• Si Y=kX, alors Var(Y)=k²Var(X).

📝 Sujet — Format MENFP

Partie A — Questions courtes et QCM (40 points)

Réponds clairement et brièvement. Une justification succincte est attendue.

1. Calculer lim (x→0⁺) ln x.

2. Dériver f(x)=ln x + x² (pour x>0).

3. Soit f(x)=x+ln x. L’équation de la tangente en x=1 est :

y=2x−1 y=x+1 y=3x−3

4. Calculer le module de z=3−4i.

5. Calculer zz̄ pour z=1+2i.

6. Résoudre dans ℝ : ln x = 3.

7. Suite : U₀=2 et Uₙ=2+3n. Calculer U₅.

8. Suite géométrique : U₀=5, raison q=2. Donner U₄.

9. On a P(A)=0,5, P(B)=0,4 et P(A∩B)=0,2. Calculer P(A∪B).

10. Données : σ(X)=2. Si Y=4X, alors Var(Y) vaut :

16 64 8

11. Série statistique : 1, 2, 2, 5. Calculer la moyenne.

12. Simplifier (2+i)(2−i).

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Partie B — Traiter 2 exercices sur 3 (60 points)

Exercice 1 — Nombres complexes (30 pts)

On considère z = 2 + i et w = 1 − 2i.

1. Calculer z + w et zw.
2. Calculer |z| et |w|.
3. Calculer z̄ puis z z̄.
4. Résoudre dans ℂ : z·u = w (donner u).

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Exercice 2 — Suites (30 pts)

La suite (Uₙ) est définie par U₀=3 et Uₙ₊₁=2Uₙ+1.

1. Calculer U₁ et U₂.
2. On pose Vₙ = Uₙ + h. Déterminer h pour que Vₙ₊₁=2Vₙ.
3. Exprimer Vₙ puis Uₙ en fonction de n.
4. En déduire lim (n→+∞) Uₙ.

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Exercice 3 — Fonctions (30 pts)

On considère f(x)=x+ln x définie sur ]0,+∞[.

1. Calculer f′(x) et étudier son signe.
2. Dresser le tableau de variations de f.
3. Calculer f(1) et f′(1).
4. Déterminer l’équation de la tangente en x=1.

✅ Corrigé détaillé (ouvrir après avoir terminé)

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Partie A

1. lim (x→0⁺) ln x = −∞.

2. f′(x) = 1/x + 2x.

3. f(1)=1, f′(1)=2. Tangente : y=2(x−1)+1=2x−1.

4. |3−4i| = √(3²+(−4)²)=√(9+16)=5.

5. z=1+2i, z̄=1−2i ⇒ zz̄=(1+2i)(1−2i)=1+4=5.

6. ln x=3 ⇒ x=e³.

7. U₅=2+3×5=17.

8. U₄=U₀ q⁴=5×2⁴=5×16=80.

9. P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)=0,5+0,4−0,2=0,7.

10. σ(X)=2 ⇒ Var(X)=4. Si Y=4X, alors Var(Y)=4²Var(X)=16×4=64.

11. Moyenne : (1+2+2+5)/4=10/4=2,5.

12. (2+i)(2−i)=2²−i²=4−(−1)=5.

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Partie B — Corrigé détaillé

Exercice 1 — Nombres complexes

Données : z=2+i, w=1−2i.

1. Somme : z+w=(2+i)+(1−2i)=3−i.
   Produit : zw=(2+i)(1−2i)=2−4i+i−2i²=2−3i+2=4−3i.
2. Modules :
   |z|=√(2²+1²)=√5,
   |w|=√(1²+(−2)²)=√5.
3. Conjugué : z̄=2−i.
   Produit : zz̄=(2+i)(2−i)=4−i²=5.
4. Résoudre z·u=w : u=w/z.
   u=(1−2i)/(2+i). On multiplie numérateur et dénominateur par 2−i :
   u=((1−2i)(2−i))/((2+i)(2−i)).
   Numérateur : (1−2i)(2−i)=2−i−4i+2i²=2−5i−2=−5i.
   Dénominateur : (2+i)(2−i)=5.
   Donc u=−5i/5=−i.

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Exercice 2 — Suites

Données : U₀=3 et Uₙ₊₁=2Uₙ+1.

1. U₁=2U₀+1=2×3+1=7.
   U₂=2U₁+1=2×7+1=15.
2. On veut Vₙ=Uₙ+h tel que Vₙ₊₁=2Vₙ.
   Or Vₙ₊₁=Uₙ₊₁+h=2Uₙ+1+h et 2Vₙ=2(Uₙ+h)=2Uₙ+2h.
   Donc 2Uₙ+1+h=2Uₙ+2h ⇒ 1+h=2h ⇒ h=1.
3. Alors Vₙ=Uₙ+1 et Vₙ₊₁=2Vₙ, donc Vₙ est géométrique de raison 2.
   V₀=U₀+1=4 ⇒ Vₙ=4·2ⁿ.
   Donc Uₙ=Vₙ−1=4·2ⁿ−1.
4. Uₙ=4·2ⁿ−1 et 2ⁿ→+∞ quand n→+∞, donc Uₙ→+∞.

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Exercice 3 — Fonctions

Fonction : f(x)=x+ln x sur ]0,+∞[.

1. f′(x)=1+1/x=(x+1)/x.
   Sur ]0,+∞[, on a x>0 et x+1>0 ⇒ f′(x)>0.
2. Donc f est strictement croissante sur ]0,+∞[.
   Limites utiles : lim (x→0⁺) f(x)=lim (x→0⁺) (x+ln x)=−∞ et lim (x→+∞) f(x)=+∞.
3. f(1)=1+ln 1=1.
   f′(1)=1+1/1=2.
4. Tangente en x=1 : y=f′(1)(x−1)+f(1)=2(x−1)+1=2x−1.