Réussite Haïti - Plateforme de préparation des examens officiels haïtiens

Réussite Haïti — Examen type

Mathématiques • Examen type MENFP

⏱️ Durée : 3 h ✍️ Rédaction exigée ⏱️ 03:00:00 ▶️ Démarrer ⏸️ Pause

Consignes MENFP : calculatrice programmable interdite • silence obligatoire • La clarté, la précision et la qualité de la rédaction comptent.

📘 Aide-mémoire NS4 (ouvrir si nécessaire)

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Dérivation / primitives

• (e^x)′ = e^x, (ln x)′ = 1/x (pour x>0).
• (u·v)′ = u′v + uv′, (u/v)′ = (u′v − uv′)/v².
• Primitive : ∫ e^x dx = e^x + C, ∫ (1/x) dx = ln|x| + C.

Suites

• Suite arithmétique : U_n = U₀ + nr, somme S_n = (n/2)(U₀ + U_n−1).
• Si U_n+1 = aU_n + b, poser V_n = U_n − L avec L = b/(1−a) (si a ≠ 1).

Complexes

• z = a + ib, |z| = √(a² + b²).
• z = r(cos θ + i sin θ) ⇒ zⁿ = rⁿ(cos(nθ)+i sin(nθ)).

Probas / Stats

• Équiprobabilité : P(A)=card(A)/card(Ω).
• Régression de y en x : pente m = cov(x,y)/var(x), droite y = mx + b avec b = ȳ − m x̄.

Présentation MENFP : Données → Méthode → Calcul → Conclusion (avec unités).

📝 Sujet — Mathématiques NS4 (Format MENFP)

Le sujet est composé de deux parties A et B.
Partie A : recopier et compléter (1 à 10). 40 pts (4 pts/question).
Partie B : traiter trois (3) des cinq (5) exercices. 60 pts (20 pts/exercice).

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PARTIE A — Recopier et compléter

1) Si I = ∫₀²(2x + 1)dx = 6, alors J = ∫₂⁰(2x + 1)dx = ………

2) La dérivée première de la fonction f(x) = x²e^x−1 est f′(x) = ………

3) Soit la suite (U_n) définie sur ℕ par U_n = (6n + 7)/(2n + 1). Le plus grand des minorants de (U_n) est ……

4) Si, à partir d’un certain rang, U_n ≤ V_n ≤ W_n et lim U_n = lim W_n = 2, alors lim V_n = ……

5) Le module du nombre complexe z = (1 − i√3)(1 − i) est |z| = ……

6) Dans un espace affine, si G est barycentre de (A,−2), (B,1), (C,4), alors →AG = ……→AB + ……→AC

7) Si A et B sont incompatibles et P(A)=P(B)=3/8, alors P(A ∪ B)=……

8) Deux évènements A et B vérifient P(B|A)=P(B). Avec P(A)=0,5 et P(B)=0,2, on a P(A|A)=……

9) Si var(X)=6 et cov(x,y)=18, alors la pente de la droite de régression de y en x est m=……

10) Pour la série x : 1,2,3,4,5 et y : 10,9,12,13,9, le point moyen G(x̄,ȳ) a pour coordonnées x̄=…… et ȳ=……

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PARTIE B — Traiter trois (3) des cinq (5) exercices (60 pts)

Exercice 1 (20 pts) On considère la fonction f(x)=ln((4−x)/(x+1)) et (C) sa courbe dans un repère orthonormé.

1. Préciser l’ensemble de définition D_f.
2. Étudier les limites de f aux bornes de D_f.
3. Étudier les variations de f.
4. Tracer (C) (asymptotes et tableau de variations).

Exercice 2 (20 pts) On considère la suite (U_n) définie par U₀=2 et U_n+1=3U_n−2.

1. Calculer U₁ et U₂.
2. On pose V_n=U_n−1. Montrer que (V_n) est géométrique.
3. Donner la raison et V₀, puis exprimer V_n en fonction de n.
4. En déduire U_n en fonction de n.

Exercice 3 (20 pts) Soit z = (1 + i√3)/(1 − i√3).

1. Mettre z sous forme cartésienne a+ib.
2. Déterminer |z| et un argument arg(z).
3. Donner la forme trigonométrique de z.
4. Calculer z⁶.

Exercice 4 (20 pts) Un sac contient 6 boules numérotées de 1 à 6. On tire au hasard et en même temps deux boules (tirages équiprobables).

1. Calculer la probabilité de l’évènement A : « les deux numéros obtenus sont pairs ».
2. On définit X comme la valeur absolue de la différence des deux numéros. Quelles valeurs peut prendre X ?
3. Déterminer la loi de probabilité de X.
4. Déterminer la fonction de répartition F de X.

Exercice 5 (20 pts) La série statistique double suivante représente 5 spécimens fossiles : longueur de l’humérus x (cm) et longueur du fémur y (cm).

x : 45 ; 64 ; 72 ; 76 ; 88
y : 42 ; 58 ; 60 ; 66 ; 74

1. Déterminer le point moyen G(x̄,ȳ).
2. Calculer var(x) et cov(x,y).
3. Déterminer l’équation de la droite de régression de y en x.
4. Calculer le coefficient de corrélation linéaire r.

✅ Corrigé (réponses + méthode)

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🟩 PARTIE A — Corrigé

1) J = −I = −6.

2) f(x)=x²e^x−1 ⇒ f′(x)=2x·e^x−1 + x²·e^x−1 = e^x−1(x²+2x).

3) U_n = 3 + 4/(2n+1) > 3 et U_n → 3 ⇒ plus grand minorant = 3.

4) Théorème des gendarmes ⇒ lim V_n = 2.

5) |1−i√3|=2, |1−i|=√2 ⇒ |z|=2√2.

6) Somme des coefficients S=−2+1+4=3 ⇒ →AG = (1/3)→AB + (4/3)→AC.

7) P(B) = 3/8 ⇒ P(B) = 5/8. Incompatibles ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 3/8 + 5/8 = 1.

8) P(A|A)=1 (car P(A)>0).

9) m = cov/var = 18/6 = 3.

10) x̄=(1+2+3+4+5)/5=3, ȳ=(10+9+12+13+9)/5=53/5=10,6.

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🟦 PARTIE B — Corrigé (résultats clés)

Ex.1
D_f : (4−x)/(x+1) > 0 et x≠−1 ⇒ D_f = ]−1;4[.
lim_x→−1⁺ f(x)=+∞, lim_x→4⁻ f(x)=−∞.
f′(x)= −5/((x+1)(4−x)) < 0 sur ]−1;4[ ⇒ f décroissante.

Ex.2
U₁=3·2−2=4, U₂=3·4−2=10.
V_n=U_n−1 ⇒ V_n+1=3V_n, V₀=1.
V_n=3ⁿ ⇒ U_n=1+3ⁿ.

Ex.3
z=(1+i√3)/(1−i√3) ⇒ z= −1/2 + (√3/2)i.
|z|=1, arg(z)=2π/3, z=cos(2π/3)+i sin(2π/3).
z⁶ = cos(4π)+ i sin(4π)=1.

Ex.4
card(Ω)=C(6,2)=15. Pairs {2,4,6} ⇒ favorables C(3,2)=3 ⇒ P(A)=3/15=1/5.
X∈{1,2,3,4,5}.
Loi : P(X=1)=5/15, P(X=2)=4/15, P(X=3)=3/15, P(X=4)=2/15, P(X=5)=1/15.
Fonction de répartition : F(1)=1/3, F(2)= (5+4)/15 = 3/5, F(3)= (5+4+3)/15 = 4/5, F(4)=14/15, F(5)=1.

Ex.5
x̄=69, ȳ=60.
var(x)=204, cov(x,y)=150.
Pente m=cov/var=150/204=25/34≈0,7353, intercept b=ȳ−mx̄ = 60 − (25/34)·69 = 315/34≈9,2647.
Droite : y ≈ 0,7353x + 9,2647 (exact : y = (25/34)x + 315/34).
var(y)=112 ⇒ r = cov/√(var(x)var(y)) ≈ 150/√(204·112) ≈ 0,992.