Réussite Haïti — Prépa 9e AF

Mathématiques • Sujet type MENFP (Préparation #4)

⏱️ Mode examen : 2 h ✍️ Rédaction exigée ⏱️ 02:00:00 ▶️ Démarrer ⏸️ Pause

📘 Aide-mémoire (ouvrir si nécessaire)

Nombres

Partie décimale de a : a − ⌊a⌋ (entre 0 et 1, même si a est négatif).
⌊a⌋ (partie entière) : plus grand entier ≤ a.
Fraction ↔ décimal : 0,ab… = nombre entier / 10ⁿ, puis simplifier.
Valeur absolue : |a| est la distance à 0.

Calcul littéral

Développer : k(a±b)=ka±kb.
Factoriser utile : a²−b²=(a−b)(a+b) ; x²±2ax+a²=(x±a)².
Réduire : regrouper les termes semblables avant d’isoler x.

Équations / inéquations

Même opération des deux côtés (attention aux parenthèses).
Inéquation : multiplier/diviser par un nombre négatif ⇒ le sens s’inverse.
Présenter l’ensemble-solution (ex : ]−∞;2], [3;+∞[).

Pourcentages

p% = p/100.
Augmentation : coefficient 1 + p/100. Diminution : coefficient 1 − p/100.
Variation successive : multiplier les coefficients.

Proportionnalité / échelle

Proportionnalité : y = kx (même coefficient k).
Échelle 1:n : distance réelle = distance sur le plan × n (avec conversions).
Conversions : 1 m=100 cm, 1 km=1000 m, 1 h=60 min.

Géométrie

Pythagore : triangle rectangle ⇒ hypoténuse² = côté₁² + côté₂².
Centres du triangle : médianes → centre de gravité ; bissectrices → centre du cercle inscrit ; médiatrices → centre du cercle circonscrit ; hauteurs → orthocentre.
Tangente au cercle : perpendiculaire au rayon au point de tangence.

Statistiques

Moyenne : somme / effectif. Médiane : valeur centrale (après tri). Mode : valeur la plus fréquente.
Si effectif pair : médiane = moyenne des deux valeurs centrales.

Présentation MENFP : Données → Méthode → Calcul → Conclusion (avec unités).

📝 Sujet — Mathématiques 9e AF (Format MENFP)

Réponds clairement. Justifie chaque résultat. Aucun outil électronique n’est autorisé.

Partie A — Questions courtes

1. Déterminer la partie décimale du nombre −3,07 et expliquer la méthode.

2. Écrire sous forme de fraction irréductible : 0,84.

3. Résoudre l’équation : 5(2x−1) − 3 = 3(x+4).

4. Résoudre l’inéquation et donner l’ensemble-solution : 7 − 3x ≤ 2x + 12.

5. Un cahier coûte 180 G. On applique une remise de 12%. Calculer le prix à payer.

6. Sur un plan à l’échelle 1:100 000, une distance mesure 4,5 cm. Calculer la distance réelle en kilomètres.

7. Citer le point de concours des médianes d’un triangle et donner une interprétation (rôle).

8. On considère la série : 4 ; 5 ; 7 ; 7 ; 8 ; 9 ; 9 ; 9 ; 10. Déterminer le mode et la médiane.

Partie B — Problèmes (rédaction exigée)

1. Problème 1 — Proportionnalité. Une association distribue des kits scolaires. En 3 heures, elle prépare 84 kits, à rythme constant.

Combien de kits sont préparés en 1 heure ?
Combien de kits seront préparés en 5 heures ?
Combien d’heures faut-il pour préparer 210 kits ?

2. Problème 2 — Triangle rectangle. Un triangle ABC est rectangle en A. On donne AB=12 cm et AC=16 cm.

Calculer la longueur BC.
Calculer le périmètre du triangle.
Calculer l’aire du triangle.

3. Problème 3 — Cercle et tangente. On considère un cercle de centre O et un point A du cercle. La droite (t) est tangente au cercle en A. Un point B est situé sur la tangente.

Énoncer la propriété reliant OA et la tangente en A.
Si OA=6 cm et AB=8 cm, calculer OB.
Donner OB à 0,1 près.

4. Problème 4 — Âges. Un père a 45 ans et son fils a 15 ans.

Dans combien d’années l’âge du père sera-t-il le double de celui du fils ?
Écrire l’équation correspondante et conclure.

✅ Corrigé détaillé (format MENFP)

🟩 Partie A — Corrigé

1. Partie décimale de −3,07 : ⌊−3,07⌋ = −4 donc −3,07 − (−4) = 0,93.
Réponse : 0,93.

2. 0,84 = 84/100. En simplifiant par 4 : 84/100 = 21/25.
Réponse : 21/25.

3. 5(2x−1) − 3 = 3(x+4)
10x − 5 − 3 = 3x + 12
10x − 8 = 3x + 12
7x = 20
x = 20/7.

4. 7 − 3x ≤ 2x + 12
7 − 12 ≤ 2x + 3x
−5 ≤ 5x
−1 ≤ x.
Ensemble-solution : [−1;+∞[.

5. Remise de 12% : 180 × (1 − 0,12) = 180 × 0,88 = 158,4.
Prix à payer : 158,4 G.

6. Échelle 1:100 000.
Distance réelle = 4,5 cm × 100 000 = 450 000 cm
450 000 cm = 4 500 m = 4,5 km.
Réponse : 4,5 km.

7. Les médianes se coupent au centre de gravité : c’est le “centre d’équilibre” du triangle (point où le triangle serait équilibré s’il était une plaque uniforme).

8. Série : 4;5;7;7;8;9;9;9;10.
Mode = 9 (le plus fréquent).
Médiane : 9 valeurs ⇒ la 5ᵉ valeur est 8.
Réponses : mode 9, médiane 8.

🟦 Partie B — Corrigé

Problème 1.
Rythme constant : 84 kits en 3 h.
1) En 1 h : 84/3 = 28 kits.
2) En 5 h : 28×5 = 140 kits.
3) Pour 210 kits : 210/28 = 7,5 h, soit 7 h 30 min.

Problème 2. Triangle rectangle en A.
BC² = AB² + AC² = 12² + 16² = 144 + 256 = 400
BC = 20 cm.
Périmètre : 12 + 16 + 20 = 48 cm.
Aire : (AB×AC)/2 = (12×16)/2 = 96 cm².

Problème 3.
1) La tangente en A est perpendiculaire au rayon OA.
2) Donc le triangle OAB est rectangle en A.
OB² = OA² + AB² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
OB = 10 cm.
3) À 0,1 près : 10,0 cm.

Problème 4.
Dans t années : père 45+t, fils 15+t.
Condition : 45+t = 2(15+t)
45+t = 30+2t
15 = t.
Conclusion : dans 15 ans, le père aura le double de l’âge du fils.

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