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Maths 9e AF · Géométrie

FICHE MATHS – MÉDIATRICES, MÉDIANES, HAUTEURS & CENTRES D’UN TRIANGLE

Triangle, droites remarquables et points centres (G, H, O)

🎯 Objectif de la fiche

Reconnaître et utiliser les médiatrices, médianes et hauteurs d’un triangle, et connaître les principaux centres associés : orthocentre, centre de gravité et centre du cercle circonscrit.

📘 1. Triangle et éléments importants

Un triangle est une figure formée de trois côtés et trois sommets. On le note △ABC, avec A, B et C ses sommets.

Dans le triangle ABC :
– [AB], [BC] et [AC] sont les côtés ;
– A, B et C sont les sommets.

📘 2. Médiatrice, médiane, hauteur, bissectrice

• La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu.
• La médiane d’un triangle est le segment qui joint un sommet au milieu du côté opposé.
• La hauteur est le segment perpendiculaire à un côté et passant par le sommet opposé.
• La bissectrice d’un angle partage cet angle en deux angles égaux.

Dans le triangle ABC :
– La médiane issue de A va de A au milieu de [BC].
– La hauteur issue de B est perpendiculaire à [AC] et passe par B.
– La médiatrice de [AB] est perpendiculaire à [AB] et passe par son milieu.

⚠️ Médiane et médiatrice sont différentes :
la médiane part d’un sommet, la médiatrice ne passe pas forcément par un sommet.

📘 3. Centre de gravité (intersection des médianes)

Les trois médianes d’un triangle sont concourantes : elles se coupent en un même point appelé centre de gravité (noté G).

On construit les médianes issues de A, B et C.
Elles se rencontrent en G : G est le centre de gravité du triangle.

💡 Propriété : le centre de gravité G partage chaque médiane en deux segments, dont l’un est le double de l’autre (AG est le double de GM si M est le milieu du côté).

📘 4. Orthocentre (intersection des hauteurs)

Les trois hauteurs d’un triangle sont aussi concourantes. Leur point de rencontre est l’orthocentre (noté H).

On trace les hauteurs issues de A, B et C.
Elles se coupent en un point H : H est l’orthocentre du triangle.

📍 Position de l’orthocentre :
– dans un triangle acutangle (trois angles aigus), H est à l’intérieur ;
– dans un triangle rectangle, H est le sommet de l’angle droit ;
– dans un triangle obtusangle, H est à l’extérieur du triangle.

📘 5. Centre du cercle circonscrit

Les médiatrices des trois côtés d’un triangle sont concourantes en un point O, centre du cercle circonscrit au triangle.

On construit les médiatrices de [AB], [BC] et [AC].
Elles se croisent en O.
Le cercle de centre O et passant par A, B et C est le cercle circonscrit au triangle.

🔎 Résumé :
– Intersection des médianes → centre de gravité G ;
– Intersection des hauteurs → orthocentre H ;
– Intersection des médiatrices → centre du cercle circonscrit O.

📝 6. Mini-quiz interactif

1. La médiane d’un triangle est :

Un segment perpendiculaire à un côté et passant par le sommet opposé. Un segment qui joint un sommet au milieu du côté opposé. Une droite perpendiculaire à un côté passant par son milieu.

2. Comment s’appelle le point de rencontre des trois médianes d’un triangle ?

Le centre de gravité L’orthocentre Le centre du cercle circonscrit

3. Dans un triangle rectangle, où se trouve l’orthocentre ?

Au milieu de l’hypoténuse. Au sommet de l’angle droit. Au centre du cercle circonscrit.

✅ Corrigé du mini-quiz

Question 1 – Bonne réponse : Un segment qui joint un sommet au milieu du côté opposé.
Une médiane part toujours d’un sommet et rejoint le milieu du côté opposé. La hauteur est perpendiculaire à un côté, la médiatrice est perpendiculaire et passe par le milieu du segment.

Question 2 – Bonne réponse : Le centre de gravité.
Les trois médianes d’un triangle se coupent en un point appelé centre de gravité.
L’orthocentre est le point de rencontre des hauteurs.
Le centre du cercle circonscrit est l’intersection des médiatrices.

Question 3 – Bonne réponse : Au sommet de l’angle droit.
Dans un triangle rectangle, les trois hauteurs sont concourantes au sommet de l’angle droit. C’est donc ce sommet qui est l’orthocentre.