Loi binomiale
1. Expérience de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues seulement :
- succès (S), de probabilité p ;
- échec (E), de probabilité 1 − p.
Exemple : tirer une carte “rouge” (succès) d’un jeu bien mélangé, lancer une pièce et obtenir “pile”, etc.
2. Schéma binomial
On répète n fois de manière indépendante la même épreuve de Bernoulli (même p, même conditions). On s’intéresse au nombre de succès obtenus.
On définit la variable aléatoire X = “nombre de succès en n répétitions”.
3. Notation
On écrit :
X ∼ B(n ; p)
où n est un entier ≥ 1 et 0 ≤ p ≤ 1.
4. Loi de probabilité de X
La variable X peut prendre les valeurs : 0, 1, 2, …, n. Pour k ∈ {0,1,…,n}, on a :
P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ
où C(n, k) est le coefficient binomial “n parmi k” :
C(n, k) = n! / (k!(n − k)!)
On lance une pièce équilibrée 3 fois. Succès = “obtenir pile” ; p = 1/2. X = “nombre de piles”.
Pour k = 0, 1, 2, 3 :
P(X = k) = C(3, k) (1/2)ᵏ (1/2)³⁻ᵏ = C(3, k) (1/2)³ = C(3, k) / 8.
• P(X = 0) = C(3,0)/8 = 1/8
• P(X = 1) = 3/8
• P(X = 2) = 3/8
• P(X = 3) = 1/8
5. Espérance et variance
Pour X ∼ B(n ; p), on a les formules :
E(X) = n·p
V(X) = n·p·(1 − p)
σ(X) = √(n·p·(1 − p))
On lance un dé truqué 10 fois. Succès = “obtenir 6” avec probabilité p = 0,2 à chaque lancer. X = “nombre de 6 obtenus”.
X ∼ B(10 ; 0,2).
E(X) = 10×0,2 = 2.
V(X) = 10×0,2×0,8 = 1,6.
σ(X) = √1,6 ≈ 1,26.
6. Probabilités courantes à calculer
Avec la loi binomiale, on rencontre souvent :
- P(X = k) = C(n, k)pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ ;
- P(X ≤ k) = P(X = 0) + … + P(X = k) ;
- P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1).
7. Méthode NS4
- 1️⃣ Vérifier qu’on est bien dans un schéma binomial :
- n répétitions identiques, indépendantes ;
- deux issues (succès/échec) ;
- probabilité du succès constante = p.
- 2️⃣ Définir X = “nombre de succès en n essais”.
- 3️⃣ Écrire X ∼ B(n ; p).
- 4️⃣ Utiliser la formule P(X = k) pour les questions ponctuelles.
- 5️⃣ Utiliser la somme des P(X = k) pour les questions du type “au moins”, “au plus”.
- 6️⃣ Si nécessaire, calculer E(X), V(X), σ(X).