Limites des fonctions
1. Pourquoi étudier les limites ?
Les limites permettent de comprendre le comportement d’une fonction lorsque la variable x devient très grande, très petite ou s’approche d’une valeur interdite. C’est une étape essentielle pour tracer une courbe, repérer des asymptotes et étudier les variations.
2. Limites fondamentales à connaître
- Exponentielle : eˣ → +∞ quand x → +∞ ; eˣ → 0 quand x → –∞.
- Logarithme : ln(x) → –∞ quand x → 0⁺ ; ln(x) → +∞ quand x → +∞.
- Fractions : si le dénominateur → 0, la fonction explose en ±∞.
- Polynômes : le terme de plus haut degré domine le comportement.
💡 Astuce : lorsqu’une expression contient un exponentielle et un polynôme,
l’exponentielle l’emporte toujours quand x → +∞.
3. Techniques essentielles
- Comparer les puissances : x² < x³ < eˣ.
- Factoriser par le terme dominant.
- Utiliser les règles de signes pour déterminer +∞ ou –∞.
- Étudier séparément numérateur et dénominateur.
4. Exemples guidés
Exemple 1 :
Calculer limx→+∞ (eˣ – 4)/(eˣ + 3).
On divise le numérateur et le dénominateur par eˣ :
(1 – 4e⁻ˣ) / (1 + 3e⁻ˣ).
Comme e⁻ˣ → 0, on obtient :
lim = 1.
Calculer limx→+∞ (eˣ – 4)/(eˣ + 3).
On divise le numérateur et le dénominateur par eˣ :
(1 – 4e⁻ˣ) / (1 + 3e⁻ˣ).
Comme e⁻ˣ → 0, on obtient :
lim = 1.
Exemple 2 :
Calculer limx→0⁺ ln(x – 0).
La valeur x doit rester positive.
Or ln(x) → –∞ lorsque x → 0⁺.
Donc : lim = –∞.
Calculer limx→0⁺ ln(x – 0).
La valeur x doit rester positive.
Or ln(x) → –∞ lorsque x → 0⁺.
Donc : lim = –∞.
Exemple 3 :
Calculer limx→3 1/(x – 3).
Si x→3⁺ ⇒ dénominateur positif très petit ⇒ +∞.
Si x→3⁻ ⇒ dénominateur négatif très petit ⇒ –∞.
Calculer limx→3 1/(x – 3).
Si x→3⁺ ⇒ dénominateur positif très petit ⇒ +∞.
Si x→3⁻ ⇒ dénominateur négatif très petit ⇒ –∞.
Exemple 4 :
Calculer limx→+∞ (2x² – x + 4)/(x² + 7).
On factorise par x² :
(2 – 1/x + 4/x²) / (1 + 7/x²).
En laissant x → +∞, on obtient :
lim = 2.
Calculer limx→+∞ (2x² – x + 4)/(x² + 7).
On factorise par x² :
(2 – 1/x + 4/x²) / (1 + 7/x²).
En laissant x → +∞, on obtient :
lim = 2.
5. Limites et asymptotes
Les limites sont utilisées pour déterminer la présence :
- d’asymptote verticale → quand le dénominateur s’annule ;
- d’asymptote horizontale → si la limite en ±∞ est finie ;
- d’asymptote oblique → en étudiant lim f(x)/x ou lim (f(x) – ax).
📌 Astuce Réussite Haïti :
Lorsqu’une courbe « explose » près d’un point, toujours vérifier le dénominateur.