Limites de suites (convergence et divergence)
1. Idée générale
Une suite (Uₙ) a une limite si, quand n devient très grand, les termes Uₙ se rapprochent de plus en plus d’un même nombre réel L.
Dans ce cas, on dit que la suite converge vers L et on écrit :
lim Uₙ = L (ou Uₙ → L quand n → +∞).
2. Suites convergentes et divergentes
- Si Uₙ se rapproche d’un nombre réel L ⇒ la suite est convergente.
- Si Uₙ devient arbitrairement grand (en valeur absolue) ⇒ la suite diverge vers +∞ ou −∞.
- Si Uₙ oscille sans se stabiliser ⇒ la suite n’a pas de limite.
• Uₙ = 1/n ⇒ Uₙ → 0 (convergente).
• Uₙ = 2ⁿ ⇒ Uₙ → +∞ (divergente).
• Uₙ = (−1)ⁿ ⇒ n’a pas de limite (oscillation).
• Uₙ = 2ⁿ ⇒ Uₙ → +∞ (divergente).
• Uₙ = (−1)ⁿ ⇒ n’a pas de limite (oscillation).
3. Suites géométriques
Pour une suite géométrique Uₙ = U₀qⁿ :
- Si |q| < 1 ⇒ Uₙ → 0.
- Si q = 1 ⇒ Uₙ = U₀ (constante).
- Si q > 1 et U₀ > 0 ⇒ Uₙ → +∞.
- Si q < −1 ⇒ pas de limite (valeurs alternées et de plus en plus grandes).
Exemple :
Uₙ = 5 × (3/4)ⁿ.
Comme |3/4| < 1 ⇒ Uₙ → 0.
Uₙ = 5 × (3/4)ⁿ.
Comme |3/4| < 1 ⇒ Uₙ → 0.
4. Suites de type Un+1 = aUn + b
Pour les suites récurrentes du type Uₙ₊₁ = aUₙ + b avec |a| < 1, on montre (voir fiche 8) que :
Uₙ = L + (U₀ − L)aⁿ avec L = b / (1 − a).
Comme aⁿ → 0 si |a| < 1, on obtient :
Uₙ → L
Exemple :
Uₙ₊₁ = 0,6Uₙ + 8 ; U₀ = 2.
L = 8 / (1 − 0,6) = 20.
On trouve Uₙ = 20 + (U₀ − 20)·0,6ⁿ = 20 − 18·0,6ⁿ.
Comme 0,6ⁿ → 0, la suite converge vers 20.
Uₙ₊₁ = 0,6Uₙ + 8 ; U₀ = 2.
L = 8 / (1 − 0,6) = 20.
On trouve Uₙ = 20 + (U₀ − 20)·0,6ⁿ = 20 − 18·0,6ⁿ.
Comme 0,6ⁿ → 0, la suite converge vers 20.
5. Suites monotones et bornées
Un critère très utile en NS4 :
Si une suite (Uₙ) est :
• croissante et majorée ⇒ elle converge.
• décroissante et minorée ⇒ elle converge.
• croissante et majorée ⇒ elle converge.
• décroissante et minorée ⇒ elle converge.
On dit qu’une suite est :
- croissante si Uₙ₊₁ ≥ Uₙ pour tout n ;
- décroissante si Uₙ₊₁ ≤ Uₙ pour tout n ;
- majorée s’il existe M tel que Uₙ ≤ M pour tout n ;
- minorée s’il existe m tel que Uₙ ≥ m pour tout n.
6. Exemples d’analyse de convergence
Exemple 1 :
Uₙ = 2 − 1/n.
• Uₙ est bien définie pour tout n ≥ 1.
• Quand n → +∞, 1/n → 0 donc Uₙ → 2.
La suite converge vers 2.
Uₙ = 2 − 1/n.
• Uₙ est bien définie pour tout n ≥ 1.
• Quand n → +∞, 1/n → 0 donc Uₙ → 2.
La suite converge vers 2.
Exemple 2 :
Uₙ = (2n + 1)/(n + 3).
On divise numérateur et dénominateur par n :
Uₙ = (2 + 1/n)/(1 + 3/n).
Quand n → +∞, 1/n → 0 donc Uₙ → 2/1 = 2.
Uₙ = (2n + 1)/(n + 3).
On divise numérateur et dénominateur par n :
Uₙ = (2 + 1/n)/(1 + 3/n).
Quand n → +∞, 1/n → 0 donc Uₙ → 2/1 = 2.
7. Méthode générale pour les limites de suites
- 1️⃣ Identifier le type de suite : géométrique, arithmétique, récurrente, fraction rationnelle…
- 2️⃣ Simplifier l’expression de Uₙ (factorisation, division par n, par n²…)
- 3️⃣ Utiliser les limites simples (1/n → 0, qⁿ → 0 si |q| < 1…)
- 4️⃣ Si la suite est monotone et bornée, conclure avec le critère de convergence.
💡 Astuce Réussite Haïti :
Toujours vérifier d’abord si la suite n’est pas géométrique ou dérivée d’une suite géométrique.