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Maths 9e AF · Puissances

FICHE MATHS – 9ᵉ Année AF

Les puissances : définition, règles et puissances de 10

🎯 Objectif de la fiche

Comprendre la notation aⁿ, savoir utiliser les règles sur les exposants (positifs, négatifs, nuls) et simplifier des expressions comportant des puissances.

📌 1. Définition d’une puissance

Une puissance est un produit de facteurs identiques.

aⁿ = a × a × … × a (n fois)

• a : base
• n : exposant (entier ≥ 0)

Exemples :

2⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

(−3)³ = −27

(5/2)² = 25/4

Cas particuliers :
a¹ = a et a⁰ = 1 (si a ≠ 0).

📌 2. Puissances d’exposant négatif

Pour tout nombre a ≠ 0 et tout entier n ≥ 1 :

a⁻ⁿ = 1 / aⁿ

Exemples :

• 5⁻¹ = 1/5
• 10⁻³ = 1/1000
• (−2)⁻² = 1 / (−2)² = 1/4

📌 3. Les grandes règles des puissances

1) Produit de puissances de même base

a^m × aⁿ = a^m+n

• Ex : 6³ × 6⁵ = 6⁸

2) Quotient de puissances de même base

a^m / aⁿ = a^m−n (a ≠ 0)

• Ex : 7⁹ / 7⁴ = 7⁵

3) Puissance d’un produit

(ab)ⁿ = aⁿ × bⁿ

• Ex : (3 × 5)² = 3² × 5² = 9 × 25 = 225

4) Puissance d’une puissance

(a^m)ⁿ = a^m×n

• Ex : (2⁴)³ = 2¹²

📌 4. Les puissances de 10

On utilise les puissances de 10 pour écrire des nombres très grands ou très petits.

• 10⁴ = 10 000
• 10⁻² = 0,01
• 10⁶ × 10⁻³ = 10³ = 1 000

📝 Mini-quiz (3 questions)

1. (3⁴ × 3⁻²) / 3³ = ?

3⁵ 3⁻¹ = 1/3 1/9

2. (2 × 5)³ = ?

2³ + 5³ 2³ × 5³ 2 × 5³

3. (10⁵ × 10⁻³) / 10² = ?

10⁻¹ 10⁰ = 1 10²

✅ Corrigé détaillé du mini-quiz

Q1. (3⁴ × 3⁻²) / 3³ = 3^{4 + (−2) − 3} = 3⁻¹ = 1/3. On additionne les exposants au numérateur puis on soustrait celui du dénominateur.

Q2. (2 × 5)³ = 2³ × 5³ (règle : (ab)ⁿ = aⁿ × bⁿ) = 8 × 125 = 1 000. Attention : ce n’est ni une somme ni seulement 5³ multiplié par 2.

Q3. (10⁵ × 10⁻³) / 10² = 10^{5 + (−3) − 2} = 10⁰ = 1. Une puissance de 10 avec exposant 0 vaut toujours 1.