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Maths 9e AF · Ensembles de nombres

FICHE MATHS – 9ᵉ Année AF

Les ensembles de nombres : N, Z, Q, R et leurs inclusions

🎯 Objectif de la fiche

Savoir reconnaître dans quel ensemble appartient un nombre (N, Z, Q, R), comprendre la définition de chacun et retenir l’ordre d’inclusion N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

📌 1. Les principaux ensembles de nombres

En 9ᵉ AF, on travaille surtout avec quatre ensembles :

1) N – Nombres naturels

Ce sont les nombres utilisés pour compter.

N = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; …}

• 0, 5, 243 ∈ N
• −3, 2,5 ∉ N

On y trouve zéro et tous les entiers positifs.

2) Z – Entiers relatifs

On ajoute aux naturels leurs opposés (négatifs) et zéro.

Z = {… ; −3 ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …}

• −7, 0, 12 ∈ Z
• 3,5 ∉ Z

Tous les nombres de N sont aussi dans Z : on a N ⊂ Z.

3) Q – Nombres rationnels

Ce sont les nombres qu’on peut écrire sous forme de fraction avec un numérateur et un dénominateur entiers (et dénominateur ≠ 0).

Q = { a/b | a, b ∈ Z et b ≠ 0 }

• 0,25 = 1/4 ∈ Q
• −5/2 ∈ Q
• 7 ∈ Q car 7 = 7/1

Tous les entiers sont aussi des rationnels : Z ⊂ Q.

4) R – Nombres réels

Ils regroupent tous les nombres qu’on peut placer sur une droite graduée (écriture décimale finie, périodique ou non).

• π, √2, −3, 5, 0,75 ∈ R
• Tous les nombres de N, Z et Q appartiennent aussi à R.

On a finalement : N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

📌 2. Inclusion des ensembles

Les ensembles de nombres sont emboîtés les uns dans les autres :

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

• N : seulement les entiers positifs (et 0).
• Z : tous les entiers (positifs, négatifs et 0).
• Q : tous les nombres écrits sous forme de fraction.
• R : tous les nombres situés sur la droite réelle (y compris des nombres comme π ou √2).

Si un nombre est dans N, alors il est aussi dans Z, donc dans Q et finalement dans R.

📌 3. Classer quelques nombres

Pour t’entraîner, regarde à quels ensembles appartiennent ces nombres :

• −4 : Z, Q, R (mais pas N).
• 3/5 : Q, R (ce n’est pas un entier).
• 9 : N, Z, Q, R (c’est un entier naturel).
• √2 : seulement dans R (ce n’est pas un rationnel).

Quand tu dois classer un nombre, commence par demander : « Est-ce un entier ? Est-ce une fraction ? Est-ce un nombre comme π ou √2 ? »

📝 Mini-quiz (3 questions)

1. Lequel de ces nombres est un entier relatif qui n’est pas naturel ?

4 −5 2,5

2. Lequel de ces nombres est un rationnel ?

√2 π 3/4

3. Quel est l’ordre d’inclusion correct entre ces ensembles ?

Q ⊂ Z ⊂ N ⊂ R N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R Z ⊂ N ⊂ Q ⊂ R

✅ Corrigé détaillé du mini-quiz

Q1.
On cherche un nombre qui est dans Z mais pas dans N.
−5 est un entier (donc dans Z) mais il est négatif, donc il n’appartient pas à N.

Q2.
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire comme une fraction a/b avec a et b entiers et b ≠ 0. 3/4 est clairement une fraction de ce type, donc 3/4 ∈ Q (et donc aussi dans R).
√2 et π ne peuvent pas s’écrire sous forme de fraction d’entiers : ils ne sont pas rationnels.

Q3.
Les ensembles sont emboîtés ainsi :
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
Tout naturel est un entier, tout entier est un rationnel, et tout rationnel est un réel.