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Maths 9e AF · Inéquations 1er degré

FICHE MATHS – 9ᵉ Année AF

Inéquations du 1er degré : définition, méthode et représentation

🎯 Objectif de la fiche

Comprendre ce qu’est une inéquation, savoir la résoudre et représenter son ensemble de solutions sur une droite graduée.

📌 1. Qu’est-ce qu’une inéquation ?

Une inéquation est une relation qui compare deux expressions par l’un des signes : < , ≤ , > , ≥.

Elle contient une inconnue et on cherche les valeurs pour lesquelles la relation est vraie.

Exemples :

• 2x + 1 > 7
• −3x + 5 ≤ 11
• 4x − 9 ≥ 3x

Ensemble de solutions :
Pour une inéquation, on parle souvent d’un ensemble de solutions (plusieurs valeurs, parfois un intervalle).

📌 2. Inéquation du 1^er degré à une inconnue

Une inéquation du 1^er degré à une inconnue est de la forme :

ax + b < c,   ax + b ≤ c,   ax + b > c,   ax + b ≥ c

où a, b et c sont des nombres réels et a ≠ 0.

📌 3. Règles de transformation

On peut transformer une inéquation sans changer son ensemble de solutions :

• en ajoutant ou soustrayant un même nombre aux deux membres ;
• en multipliant ou divisant les deux membres par un même nombre positif.

⚠️ Si on multiplie ou divise par un nombre négatif, on doit inverser le sens de l’inégalité.

Exemples :

2x > 6 ⟶ x > 3
−2x > 6 ⟶ en divisant par −2 : x < −3 (on inverse > en <).

📌 4. Méthode de résolution

Idée : isoler le terme en x, puis diviser par le coefficient de x.

4.1 Exemple 1 : coefficient positif

Résoudre : 3x − 5 ≥ 7

3x − 5 ≥ 7
3x ≥ 7 + 5
3x ≥ 12

On divise par 3 (positif) :
x ≥ 4.

Ensemble de solutions : tous les nombres x tels que x ≥ 4.

4.2 Exemple 2 : coefficient négatif

Résoudre : −2x + 1 < 9

−2x + 1 < 9
−2x < 9 − 1
−2x < 8

On divise par −2 (nombre négatif) → on inverse le signe :
x > −4.

Ensemble de solutions : tous les nombres x tels que x > −4.

📌 5. Représentation sur une droite graduée

On représente les solutions par un intervalle sur une droite graduée :

• x > a : cercle ouvert en a, flèche vers la droite.
• x ≥ a : cercle plein en a, flèche vers la droite.
• x < a : cercle ouvert en a, flèche vers la gauche.
• x ≤ a : cercle plein en a, flèche vers la gauche.

Exemple : x ≥ 2

----●====================>
    2
      

On remplit vers la droite à partir de 2 inclus.

📌 6. Mise en inéquation d’un problème simple

Un tuteur gagne 300 gourdes par heure. Il veut gagner au moins 1800 gourdes dans la journée. Combien d’heures h doit-il travailler ?

1) Traduction en inéquation : 300h ≥ 1800.

2) Résolution : 300h ≥ 1800
h ≥ 1800 ÷ 300
h ≥ 6.

Il doit travailler au moins 6 heures.

📝 7. Mini-quiz (3 questions)

1. Résoudre : 4x + 2 > 14

x > 2 x > 3 x ≥ 3

2. Résoudre : −3x + 5 ≤ 2

x ≤ 1 x ≥ 1 x ≥ −1

3. Parmi ces représentations, laquelle correspond à x < −2 ?

Cercle ouvert en −2, flèche vers la gauche Cercle plein en −2, flèche vers la gauche Cercle plein en −2, flèche vers la droite

✅ Corrigé détaillé du mini-quiz

Q1.
4x + 2 > 14 ⟶ 4x > 14 − 2 = 12 ⟶ x > 12 ÷ 4 = 3. La bonne réponse est donc x > 3.

Q2.
−3x + 5 ≤ 2 ⟶ −3x ≤ 2 − 5 = −3 En divisant par −3 (nombre négatif), on inverse le signe : ⟶ x ≥ 1. La bonne réponse est x ≥ 1.

Q3.
x < −2 signifie que −2 n’est pas compris et que l’on prend tous les nombres plus petits que −2 : on utilise un cercle ouvert en −2 et une flèche vers la gauche.