Fonction de répartition d’une variable aléatoire discrète
1. Définition
La fonction de répartition d’une variable aléatoire discrète X est une fonction notée F définie par :
F(x) = P(X ≤ x)
Elle donne pour chaque réel x la probabilité que X prenne une valeur inférieure ou égale à x.
📌 F(x) est croissante, comprise entre 0 et 1, et possède des “sauts” aux valeurs prises par X.
2. Construction de F(x) à partir de la loi de X
Si X prend des valeurs x₁ < x₂ < … < xₙ avec probabilités p₁, p₂, …, pₙ, alors :
- F(x) = 0 pour x < x₁ ;
- F(x) = p₁ pour x₁ ≤ x < x₂ ;
- F(x) = p₁ + p₂ pour x₂ ≤ x < x₃ ;
- …
- F(x) = p₁ + … + pₙ = 1 pour x ≥ xₙ.
3. Exemple complet
On considère la variable X prenant :
1, 2, 3 avec les probabilités respectives 0,2 ; 0,5 ; 0,3.
Étapes :
• Pour x < 1 : F(x) = 0
• Pour 1 ≤ x < 2 : F(x) = 0,2
• Pour 2 ≤ x < 3 : F(x) = 0,2 + 0,5 = 0,7
• Pour x ≥ 3 : F(x) = 0,2 + 0,5 + 0,3 = 1
On résume :
| xᵢ | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| P(X=xᵢ) | 0,2 | 0,5 | 0,3 |
• Pour x < 1 : F(x) = 0
• Pour 1 ≤ x < 2 : F(x) = 0,2
• Pour 2 ≤ x < 3 : F(x) = 0,2 + 0,5 = 0,7
• Pour x ≥ 3 : F(x) = 0,2 + 0,5 + 0,3 = 1
On résume :
| x | F(x) |
|---|---|
| x < 1 | 0 |
| 1 ≤ x < 2 | 0,2 |
| 2 ≤ x < 3 | 0,7 |
| x ≥ 3 | 1 |
4. Propriétés essentielles de F(x)
- F est croissante : si x < y alors F(x) ≤ F(y).
- limx→−∞ F(x) = 0
- limx→+∞ F(x) = 1
- F est constante entre deux valeurs possibles de X.
- Elle possède un saut en chaque valeur xᵢ, d’amplitude pᵢ = P(X = xᵢ).
📌 La hauteur du saut au point xᵢ correspond EXACTEMENT à la probabilité P(X = xᵢ).
5. Lire des probabilités avec la fonction F
Avec la fonction de répartition, on peut calculer rapidement :
- P(X ≤ a) = F(a)
- P(X < a) = F(a⁻) = valeur juste avant a
- P(X = a) = F(a) − F(a⁻)
- P(a < X ≤ b) = F(b) − F(a)
Pour l’exemple précédent :
• P(X = 2) = saut en x=2 = 0,7 − 0,2 = 0,5
• P(X ≤ 2) = F(2) = 0,7
• P(1 < X ≤ 3) = F(3) − F(1) = 1 − 0,2 = 0,8
• P(X = 2) = saut en x=2 = 0,7 − 0,2 = 0,5
• P(X ≤ 2) = F(2) = 0,7
• P(1 < X ≤ 3) = F(3) − F(1) = 1 − 0,2 = 0,8
6. Méthode NS4
- 1️⃣ Établir la loi de X dans un tableau.
- 2️⃣ Repérer les valeurs possibles x₁ < x₂ < …
- 3️⃣ Calculer les cumulées : p₁, p₁+p₂, …
- 4️⃣ Construire F(x) par morceaux.
- 5️⃣ Utiliser les propriétés pour extraire P(X = a), P(a < X ≤ b) etc.
💡 Toujours tracer la fonction F(x) sous forme de “marches d’escalier” pour mieux comprendre les questions.