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Fonction exponentielle

1. Définition

La fonction exponentielle est définie par :

f(x) = e^x

où e ≈ 2,718 est un nombre irrationnel très important en mathématiques.

📌 La fonction exponentielle est définie pour tout réel x.

2. Propriétés fondamentales

• e⁰ = 1
• e^a+b = e^a · e^b
• e^a-b = e^a / e^b
• (e^a)ⁿ = e^an
• e^x > 0 pour tout x

3. Dérivée et primitive

La fonction exponentielle a une propriété remarquable :

(e^x)' = e^x

Elle est sa propre dérivée et aussi sa propre primitive :

∫ e^x dx = e^x + C

4. Fonction exponentielle composée

Si f(x) = e^u(x), alors :

f'(x) = u'(x) · e^u(x)

Exemple :
f(x) = e^3x
f'(x) = 3e^3x

5. Limites importantes

• lim x→+∞ e^x = +∞
• lim x→−∞ e^x = 0

💡 L’axe des abscisses est asymptote horizontale quand x → −∞.

6. Résolution d’équations exponentielles

Pour résoudre e^x = k :

x = ln(k)

Exemple :
Résoudre e^x = 5
⇒ x = ln(5)

7. Applications en économie et sciences

• Croissance démographique
• Intérêts composés
• Radioactivité
• Modélisation économique

📌 En NS4, les exercices portent souvent sur :

• Étude de variation
• Calcul de dérivée
• Résolution d’équations

8. Méthode générale NS4

• 1️⃣ Identifier la forme e^x ou e^u(x)
• 2️⃣ Utiliser les propriétés des exponentielles
• 3️⃣ Appliquer la dérivation en chaîne si nécessaire
• 4️⃣ Utiliser le logarithme népérien pour résoudre les équations

📌 Astuce Réussite Haïti : Toujours vérifier si on peut factoriser par e^x dans les exercices de dérivées.