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Dérivée et étude de variations

1. Idée de la dérivée

La dérivée d’une fonction en un point mesure la pente de la tangente à la courbe à ce point. C’est le taux de variation instantané : comment la fonction change quand x varie très peu.

Si la dérivée est positive en un point, la courbe monte localement : la fonction est croissante dans un voisinage.
Si la dérivée est négative, la courbe descend : la fonction est décroissante.

2. Définition (admissible pour NS4)

Soit f une fonction. On dit que f est dérivable en un réel a si la limite suivante existe :

f′(a) = lim_h→0 [ f(a + h) − f(a) ] / h

On note f′(a) la dérivée de f en a. La fonction qui à tout x associe f′(x) est appelée la fonction dérivée.

3. Règles de dérivation à connaître

• Constante : si f(x) = c alors f′(x) = 0.
• Identité : si f(x) = x alors f′(x) = 1.
• Puissance : si f(x) = xⁿ (n entier ≥ 1) alors f′(x) = n xⁿ⁻¹.
• Exponentielle : si f(x) = eˣ alors f′(x) = eˣ.
• Logarithme : si f(x) = ln(x) (x > 0) alors f′(x) = 1/x.
• Somme : (u + v)′ = u′ + v′.
• Produit : (uv)′ = u′v + uv′.
• Quotient : (u/v)′ = (u′v − uv′) / v², avec v(x) ≠ 0.

💡 Astuce : écrire clairement u(x) et v(x) avant d’appliquer les formules de produit et quotient.

4. Lien entre f′(x) et variations de f

• Si f′(x) > 0 sur un intervalle, alors f est croissante sur cet intervalle.
• Si f′(x) < 0 sur un intervalle, alors f est décroissante.
• Si f′(x) change de signe, on peut avoir un minimum ou un maximum local.

Si f′(x) passe de + à − en un point a, alors f a un maximum local en a.
Si f′(x) passe de − à + en a, alors f a un minimum local en a.

5. Méthode d’étude de variations

Pour étudier une fonction f sur un intervalle :

• 1️⃣ Déterminer le domaine de définition de f.
• 2️⃣ Calculer la dérivée f′(x).
• 3️⃣ Résoudre l’égalité f′(x) = 0 et repérer les points où f′ n’existe pas.
• 4️⃣ Étudier le signe de f′(x) sur chaque intervalle.
• 5️⃣ Dresser le tableau de variations de f.

6. Exemples guidés

Exemple 1 :
Soit f(x) = x² − 4x + 1.

1. Dérivée : f′(x) = 2x − 4.
2. On résout 2x − 4 = 0 ⇒ x = 2.
3. Signe de f′(x) :
• pour x < 2, 2x − 4 < 0 ⇒ f décroît ;
• pour x > 2, 2x − 4 > 0 ⇒ f croît.

Donc f a un minimum au point x = 2.

Exemple 2 :
Soit f(x) = eˣ − 2x.

1. Dérivée : f′(x) = eˣ − 2.
2. On résout eˣ − 2 = 0 ⇒ eˣ = 2 ⇒ x = ln(2).
3. Signe de f′(x) :
• si x < ln(2), eˣ < 2 ⇒ f′(x) < 0 ⇒ f décroît ;
• si x > ln(2), eˣ > 2 ⇒ f′(x) > 0 ⇒ f croît.

Donc f a un minimum au point d’abscisse x = ln(2).

📌 Astuce Réussite Haïti : Toujours faire un schéma mental du signe de f′ avant de remplir le tableau de variations.