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Maths 9e AF · Factorisation

FICHE MATHS – 9ᵉ Année AF

Factoriser : mettre en évidence et utiliser les identités remarquables

🎯 Objectif de la fiche

Savoir factoriser une expression littérale : mettre un facteur commun en évidence et utiliser les identités remarquables pour écrire une somme ou une différence sous forme de produit.

📌 1. Qu’est-ce que factoriser ?

Factoriser une expression, c’est l’écrire comme un produit de facteurs. C’est l’opération inverse du développement.

• Développer : (x + 3)(x + 2) = x² + 5x + 6
• Factoriser : x² + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)

📌 2. Mise en évidence (facteur commun)

Quand tous les termes d’une expression ont un facteur commun, on peut le sortir et le mettre en évidence.

2.1 Méthode

• 1) Chercher le facteur commun à tous les termes (nombre, lettre ou les deux).
• 2) Réécrire chaque terme comme « facteur commun × autre chose ».
• 3) Factoriser : facteur commun × (somme ou différence).

2.2 Exemples

1) Factoriser : 5x + 10
• Les deux termes ont le facteur commun 5.
• 5x = 5·x et 10 = 5·2.
Donc : 5x + 10 = 5(x + 2).

2) Factoriser : 3a² − 6a
• Facteur commun : 3a
• 3a² = 3a·a et 6a = 3a·2
Donc : 3a² − 6a = 3a(a − 2).

3) Factoriser : 4x³y − 2x²y
• Facteur commun : 2x²y
• 4x³y = 2x²y·2x et 2x²y = 2x²y·1
Donc : 4x³y − 2x²y = 2x²y(2x − 1).

📌 3. Factoriser avec les identités remarquables

On utilise les trois formules de base :

a² + 2ab + b² = (a + b)²

a² − 2ab + b² = (a − b)²

a² − b² = (a + b)(a − b)

3.1 Reconnaître le modèle (a + b)²

Factoriser : x² + 8x + 16
• On reconnaît : x² + 2·4·x + 4².
• Ici a = x et b = 4.
Donc : x² + 8x + 16 = (x + 4)².

3.2 Reconnaître le modèle (a − b)²

Factoriser : a² − 10a + 25
• On reconnaît : a² − 2·5·a + 5².
• a = a, b = 5.
Donc : a² − 10a + 25 = (a − 5)².

3.3 Reconnaître la différence de deux carrés

Factoriser : 9x² − 16
• 9x² = (3x)² et 16 = 4².
Donc : 9x² − 16 = (3x + 4)(3x − 4).

📌 4. Combiner mise en évidence + identité remarquable

Parfois, il faut d’abord mettre un facteur commun en évidence, puis utiliser une identité remarquable.

1) Factoriser : 2x² − 8
• On met 2 en évidence : 2x² − 8 = 2(x² − 4).
• x² − 4 = x² − 2² = (x + 2)(x − 2).
Donc : 2x² − 8 = 2(x + 2)(x − 2).

2) Factoriser : 5y³ − 45y
• Facteur commun : 5y.
5y³ − 45y = 5y(y² − 9).
• y² − 9 = (y + 3)(y − 3).
Donc : 5y³ − 45y = 5y(y + 3)(y − 3).

📌 5. Erreurs fréquentes à éviter

• Oublier de factoriser complètement (laisser un facteur commun).
• Confondre a² − b² avec (a − b)².
• Factoriser seulement une partie de l’expression.

📝 6. Mini-quiz (3 questions)

1. Factoriser : 7x + 14

7(x² + 2) 7(x + 2) x(7 + 14)

2. Factoriser : x² − 25

(x + 5)(x − 5) (x − 5)² (x + 25)(x − 25)

3. Factoriser complètement : 3x³ − 27x

3x(x² − 9) 3x(x + 3)(x − 3) x³ − 9x

✅ Corrigé détaillé du mini-quiz

Q1.
On met le facteur commun 7 en évidence :
7x + 14 = 7(x + 2).
La bonne réponse est donc 7(x + 2).

Q2.
x² − 25 est une différence de deux carrés : x² − 5².
On utilise a² − b² = (a + b)(a − b) avec a = x et b = 5 :
x² − 25 = (x + 5)(x − 5).
La bonne réponse est (x + 5)(x − 5).

Q3.
3x³ − 27x a un facteur commun 3x :
3x³ − 27x = 3x(x² − 9).
Or x² − 9 = x² − 3² = (x + 3)(x − 3).
Donc : 3x³ − 27x = 3x(x + 3)(x − 3).
La bonne réponse est 3x(x + 3)(x − 3).