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Réussite Haïti — Examen type MENFP NS4

Mathématiques • Examen type MENFP

⏱️ Durée : 3 h ✍️ Rédaction exigée ⏱️ 03:00:00 ▶️ Démarrer ⏸️ Pause

Consignes MENFP : calculatrice programmable interdite • téléphone interdit • silence obligatoire • La clarté, la précision et la qualité de la rédaction comptent.

📘 Aide-mémoire NS4 (ouvrir si nécessaire)

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Dérivation / primitives

• (e^x)′ = e^x, (ln x)′ = 1/x (pour x>0).
• (u·v)′ = u′v + uv′, (u/v)′ = (u′v − uv′)/v².
• Primitive : ∫ e^x dx = e^x + C, ∫ (1/x) dx = ln|x| + C.

Suites

• Suite arithmétique : U_n = U₀ + nr.
• Suite géométrique : V_n = V₀·qⁿ.
• Si U_n+1 = aU_n + b, valeur d’équilibre L = b/(1−a) (si a ≠ 1).

Complexes

• z = a + ib, |z| = √(a² + b²).
• z = r(cos θ + i sin θ) ⇒ zⁿ = rⁿ(cos(nθ)+i sin(nθ)).

Probabilité

• Complément : P(B) = 1 − P(B).
• Incompatibles : P(A ∪ B)=P(A)+P(B).
• Indépendance : P(B|A)=P(B) (si P(A)>0).

Présentation MENFP : Données → Méthode → Calcul → Conclusion.

📝 Sujet — Mathématiques NS4 (Format MENFP)

Le sujet est composé de deux parties A et B.
Partie A : recopier et compléter (1 à 10). 40 pts (4 pts/question).
Partie B : traiter trois (3) des cinq (5) exercices. 60 pts (20 pts/exercice).

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PARTIE A — Recopier et compléter

1) Le domaine de définition de f(x)= (x+3)/(1−ln x) est D_f=……

2) Les primitives sur ℝ de g(x)=e^x−2x−3 sont G(x)=……

3) Si h(x)=(ln x −2)/(2ln x +1), alors lim_x→+∞ h(x)=……

4) Si (2n+3)/(4n+1) < U_n < (3n+7)/(6n+1), alors lim U_n=……

5) La raison de la suite arithmétique U_n=2n+3 est r=……

6) Si U_n+1=(4/5)U_n+1, la suite est constante quand U₀=……

7) Si A et B sont incompatibles et P(A)=P(B)=3/8, alors P(A ∪ B)=……

8) On a P(B|A)=P(B), P(A)=1/2, P(B)=1/5. Alors P(A ∩ B)=……

9) Si z=(1−i√3)(1−i), alors |z|=……

10) Dans un espace affine, si G est barycentre de (A,−2), (B,1), (C,4), alors AG = ……AB + ……AC

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PARTIE B — Traiter trois (3) des cinq (5) exercices (60 pts)

Exercice 1 (20 pts) On considère la fonction f(x)=ln((4−x)/(x+1)) et (C) sa courbe dans un repère orthonormé.

1. Préciser l’ensemble de définition D_f.
2. Étudier les limites de f aux bornes de D_f.
3. Étudier le sens de variation de f.
4. Tracer (C) (asymptotes et tableau de variations).

Exercice 2 (20 pts) On considère la suite (U_n) définie par U₀=2 et U_n+1=3U_n−2.

1. Calculer U₁ et U₂.
2. On pose V_n=U_n−1. Montrer que (V_n) est géométrique.
3. Donner la raison et V₀, puis exprimer V_n en fonction de n.
4. En déduire U_n en fonction de n.

Exercice 3 (20 pts) Soit z = (1 + i√3)/(1 − i√3).

1. Mettre z sous forme algébrique a+ib.
2. Déterminer |z| et un argument arg(z).
3. Donner la forme trigonométrique de z.
4. Calculer z⁶.

Exercice 4 (20 pts) Dans l’espace E muni d’un repère (O,i,j,k), on donne A(2,1,−1), B(−2,7,1), C(5,−3,1) et D(11,−12,−2).

1. Démontrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
2. Déterminer a,b,c tels que D soit le barycentre des points pondérés (A,a), (B,b), (C,c).
3. En déduire une relation vectorielle du type OD = αOA + βOB + γOC .

Exercice 5 (20 pts) On jette trois pièces de monnaie bien équilibrées.

1. Donner l’ensemble Ω des issues possibles (équiprobables).
2. Calculer la probabilité de l’événement E : « obtenir exactement une fois Pile ».
3. Calculer la probabilité de l’événement F : « obtenir au moins deux Faces ».
4. Déterminer P(E ∪ F).

✅ Corrigé (réponses + méthode)

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🟩 PARTIE A — Corrigé

1) D_f = ]0,+∞[ \ {e} (car x>0 et 1−ln x≠0 ⇒ x≠e).

2) G(x)=e^x − x² − 3x + C.

3) lim_x→+∞ (ln x −2)/(2ln x +1)=1/2.

4) lim (2n+3)/(4n+1)=1/2 et lim (3n+7)/(6n+1)=1/2 ⇒ gendarmes ⇒ lim U_n=1/2.

5) r=2.

6) Suite constante si U=L avec L=(1)/(1−4/5)=5 ⇒ U₀=5.

7) P(B)=3/8 ⇒ P(B)=1−3/8=5/8. Incompatibles ⇒ P(A ∪ B)=P(A)+P(B)=3/8+5/8=1.

8) P(A ∩ B)=P(A)P(B)=(1/2)(1/5)=1/10.

9) |1−i√3|=2, |1−i|=√2 ⇒ |z|=2√2.

10) Somme S=−2+1+4=3 ⇒ AG = (1/3)AB + (4/3)AC.

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🟦 PARTIE B — Corrigé (résultats clés)

Ex.1
D_f : (4−x)/(x+1)>0 et x≠−1 ⇒ D_f = ]−1;4[.
lim_x→−1⁺ f(x)=+∞, lim_x→4⁻ f(x)=−∞.
f′(x)= −5/((x+1)(4−x)) < 0 sur ]−1;4[ ⇒ f décroissante.

Ex.2
U₁=4, U₂=10.
V_n=U_n−1 ⇒ V_n+1=3V_n, V₀=1.
V_n=3ⁿ ⇒ U_n=1+3ⁿ.

Ex.3
z=(1+i√3)/(1−i√3)= −1/2 + (√3/2)i.
|z|=1, un argument 2π/3.
z=cos(2π/3)+i sin(2π/3).
z⁶=1.

Ex.4
AB = (−4,6,2), CD = (6,−9,−3)= −(3/2)AB ⇒ parallèles.
Pour le barycentre : chercher a,b,c avec aDA + bDB + cDC = 0 et a+b+c≠0 (résolution par coordonnées).
Ensuite : OD = αOA + βOB + γOC.

Ex.5
Ω : 8 issues.
P(E)=C(3,1)/2³=3/8.
P(F)= [C(3,2)+C(3,3)]/2³.
E et F incompatibles (1 face vs ≥2 faces) ⇒ P(E∪F)=3/8+1/2=7/8.