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Réussite Haïti — Prépa NS4

Mathématiques • Examen type MENFP

⏱️ Durée : 3 h ✍️ Rédaction exigée ⏱️ 03:00:00 ▶️ Démarrer ⏸️ Pause

Consignes MENFP : calculatrice programmable interdite • silence obligatoire • La clarté, la précision et la qualité de la rédaction comptent.

📘 Aide-mémoire NS4 (ouvrir si nécessaire)

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Vecteurs (notation)

• Exemple : OD = αOA + βOB + γOC

Probabilités

• Complément : P(B) = 1 − P(B).
• Incompatibles : P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
• Indépendants : P(A ∩ B) = P(A)P(B).

📝 Sujet — Mathématiques NS4 (Format MENFP)

Le sujet est composé de deux parties A et B.
Partie A : recopier et compléter (1 à 10). 40 pts (4 pts/question).
Partie B : traiter trois (3) des cinq (5) exercices. 60 pts (20 pts/exercice).

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PARTIE A — Recopier et compléter (40 pts)

1) Déterminer le domaine de définition de f(x)=e^ln x : D_f=……

2) Dans un repère orthogonal (O,i,j) tel que |i|=3 cm et |j|=2 cm, on considère la partie du plan définie par 0 ≤ x ≤ 1 et 0 ≤ y ≤ x². Son aire est S=…… cm².

3) Si z est de module √2 et d’argument π/4, alors z³=…… (forme trigonométrique).

4) Si Z = 4/(1+i√3), alors Im(Z)=…….

5) (U_n) est une suite arithmétique, avec U₁=−4, U_n=91 et S_n=870. Alors n=…….

6) Si U_n=1/(n+1)+1/(n+2), alors U_n+1−U_n=…….

7) On considère un système de barycentre {(A,a),(B,b)} et son barycentre C. Sachant que 2AC = 3AB, on a a : b = …….

8) A et B sont incompatibles et P(A)=P(B)=4/9. Alors P(A∪B)=…….

9) On lance 5 fois une pièce. Le nombre de résultats possibles est n=…….

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PARTIE B — Traiter trois (3) des cinq (5) exercices (60 pts)

Exercice 1 (20 pts) Suite “clientèle” (récurrence affine).

Au 1er mois, U₁=800. Chaque mois, 70% des clients du mois précédent reviennent et 300 nouveaux clients apparaissent. Pour tout entier n≥1, U_n désigne le nombre de clients au mois n.

1. Calculer U₂ et U₃.
2. Montrer que U_n+1=0,7U_n+300.
3. Déterminer la valeur d’équilibre L et poser V_n=L−U_n. Montrer que (V_n) est géométrique.
4. Exprimer U_n en fonction de n et donner lim U_n.

Exercice 2 (20 pts) Polynôme et triangle dans le plan complexe.

Pour tout complexe z, on pose P(z)=z³−3z²+3z+7.

1. Vérifier que −1 est une racine de P, puis factoriser P(z).
2. Résoudre dans ℂ l’équation P(z)=0.
3. Placer les points d’affixes solutions dans le plan.
4. Déterminer la nature du triangle formé.

Exercice 3 (20 pts) Étude de fonction.

Soit h(x)=e^x/∛x définie sur ]0,+∞[.

1. Étudier les limites de h en 0 et en +∞.
2. Calculer h′(x) et dresser le tableau de variation.
3. Donner le minimum de h et l’abscisse où il est atteint.

Exercice 4 (20 pts) Géométrie de l’espace : parallélisme + barycentre + relation vectorielle.

Dans l’espace E muni d’un repère (O,i,j,k), on donne : A(2,1,−1), B(−2,7,1), C(5,−3,1) et D(11,−12,−2).

1. Montrer que (AB) et (CD) sont parallèles.
2. Trouver a,b,c pour que D soit barycentre de (A,a),(B,b),(C,c).
3. Écrire une relation du type OD = αOA + βOB + γOC.

Exercice 5 (20 pts) Trois pièces (probabilités, sans statistique).

1. Décrire l’univers Ω (tirage de 3 lancers).
2. Soit E : « une seule fois Pile ». Calculer P(E).
3. Soit X : nombre de Faces obtenues. Donner la loi de X.
4. Calculer E(X) et V(X).

✅ Corrigé (réponses + méthode)

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🟩 PARTIE A — Corrigé

1)
D_f]0,+∞[ (car ln x n’est défini que pour x>0).

2)
Aire (unités) : ∫₀¹x²dx = 1/3.
Comme |i|·|j|=3·2=6 cm² par unité d’aire, alors S = (1/3)·6 = 2 cm².

3)
z = √2( cos(π/4) + i sin(π/4) ) ⇒ z³ = (√2)³( cos(3π/4) + i sin(3π/4) ) ⇒ z³ = 2√2( cos(3π/4) + i sin(3π/4) ).

4)
Z=4/(1+i√3)=4(1−i√3)/(1+3)=1−i√3 ⇒ Im(Z)=−√3.

5)
S_n = n(U₁+U_n)/2 = n(−4+91)/2 = 87n/2.
87n/2 = 870 ⇒ n=20.

6)
U_n+1 = 1/(n+2)+1/(n+3).
U_n+1−U_n = (1/(n+3)) − (1/(n+1)) = −2/((n+1)(n+3)).

7)
Pour un barycentre de {(A,a),(B,b)}, on a AC = (b/(a+b))AB.
Donc 2(b/(a+b))=3 ⇒ 2b=3a+3b ⇒ b=−3a.
Donc a:b = 1:(−3).

8)
Incompatibles ⇒ P(A∪B)=P(A)+P(B)=4/9+4/9=8/9.

9)
À chaque lancer : 2 issues. Donc n=2⁵=32.

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🟦 PARTIE B — Corrigé

Exercice 1
1) U₂=0,7·800+300=860, U₃=0,7·860+300=902.
2) U_n+1=0,7U_n+300.
3) Valeur d’équilibre L : L=0,7L+300 ⇒ L=1000.
Avec V_n=1000−U_n : V_n+1=1000−U_n+1=1000−(0,7U_n+300)=0,7(1000−U_n)=0,7V_n.
Donc (V_n) géométrique de raison 0,7.
4) V₁=1000−800=200 ⇒ V_n=200·0,7ⁿ⁻¹.
Donc U_n=1000−200·0,7ⁿ⁻¹ et lim U_n=1000.

Exercice 2
1) P(−1)=−1−3−3+7=0 ⇒ (z+1) divise P.
On obtient P(z)=(z+1)(z²−4z+7).
2) z²−4z+7=0 ⇒ Δ=16−28=−12 ⇒ z= (4±i√12)/2 = 2±i√3.
Solutions : −1, 2+i√3, 2−i√3.
3) On place les points d’affixes correspondantes.
4) Les deux points 2±i√3 sont symétriques par rapport à l’axe réel, et | (2+i√3) − (2−i√3) |=2√3, | (2±i√3) − (−1) |=√((3)²+(√3)²)=√(9+3)=2√3.
Les trois côtés sont égaux ⇒ triangle équilatéral.

Exercice 3
1) h(x)=e^x/x^1/3.
Quand x→0⁺, e^x→1 et x^1/3→0⁺ ⇒ h(x)→+∞.
Quand x→+∞, l’exponentielle domine ⇒ h(x)→+∞.
2) h′(x)= e^xx^−1/3 + e^x(−1/3)x^−4/3 = e^xx^−4/3(x−1/3).
Signe : h′(x)<0 sur ]0,1/3[, h′(x)>0 sur ]1/3,+∞[.
3) Minimum en x=1/3 : h(1/3)= e^1/3 / ( (1/3)^1/3 ) = e^1/3·3^1/3 = (3e)^1/3.

Exercice 4
1) AB=B−A=(−4,6,2), CD=D−C=(6,−9,−3)=−(3/2)(−4,6,2).
Donc CD=−(3/2)AB ⇒ droites parallèles.
2) Chercher a,b,c tels que aA+bB+cC=(a+b+c)D.
On obtient (par résolution) : a=3, b=−3, c=2 (exemple).
3) Somme S=a+b+c=2, donc OD=(a/S)OA+(b/S)OB+(c/S)OC
⇒ OD=(3/2)OA−(3/2)OB+1·OC.

Exercice 5
1) Ω : 8 issues (PPP, PPF, PFP, FPP, PFF, FPF, FFP, FFF).
2) “Une seule fois Pile” : 3 issues ⇒ P(E)=3/8.
3) X = nombre de Faces : loi binomiale B(3,1/2).
P(X=k)=C(3,k)/2³ pour k=0,1,2,3.
4) E(X)=np=3/2, V(X)=np(1−p)=3/4.