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Réussite Haïti — Prépa NS4

Mathématiques • Examen type MENFP

⏱️ Durée : 3 h ✍️ Rédaction exigée ⏱️ 03:00:00 ▶️ Démarrer ⏸️ Pause

Consignes MENFP : calculatrice programmable interdite • silence obligatoire • La clarté, la précision et la qualité de la rédaction comptent.

📘 Aide-mémoire NS4 (ouvrir si nécessaire)

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Vecteurs (notation)

• Exemple : OD = αOA + βOB + γOC

Probabilités

• Complément : P(B)=1−P(B).
• Incompatibles : P(A ∪ B)=P(A)+P(B).

📝 Sujet — Mathématiques NS4

Le sujet est composé de deux parties A et B.
Partie A : recopier et compléter (1 à 10). 40 pts (4 pts/question).
Partie B : traiter trois (3) des cinq (5) exercices. 60 pts (20 pts/exercice).

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PARTIE A — Recopier et compléter

1) Calculer I=∫₀¹(3x−2)dx puis en déduire ∫₁⁰(3x−2)dx.

2) La dérivée de f(x)= (x²+1)ln x (pour x>0) est f′(x)=……

3) Si U_n= (5n+4)/(n+1), alors lim U_n=……

4) Si U_n+1=(1/2)U_n+3, la valeur d’équilibre est L=……

5) Si z₁=1+i√3, alors |z₁|=……

6) Si P(B)=3/8, alors P(B)=……

7) Si A et B sont incompatibles, alors P(A∪B)=…… (en fonction de P(A) et P(B)).

8) Si P(A)=0,8, P(B)=0,7 et P(A∪B)=0,86, alors P(A∩B)=……

9) Si z=(1+i√3)/(1−i√3), alors |z|=……

10) Dans un espace affine, si G est barycentre de (A,−2), (B,1), (C,4), alors AG = …… AB + …… AC

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PARTIE B — Traiter trois (3) des cinq (5) exercices (60 pts)

Exercice 1 (20 pts) Suite “clientèle” (récurrence affine).

Un supermarché modélise sa fréquentation : au 1er mois, U₁=800. Chaque mois, 70% des clients du mois précédent reviennent, et 300 nouveaux clients apparaissent. Pour tout entier n≥1, U_n désigne le nombre de clients au mois n.

1. Calculer U₂ et U₃.
2. Exprimer U_n+1 en fonction de U_n.
3. On pose V_n=L−U_n. Déterminer L pour que (V_n) soit géométrique, puis donner sa raison.
4. En déduire l’expression de U_n en fonction de n et la limite de U_n.

Exercice 2 (20 pts) Polynôme et triangle dans le plan complexe.

Pour tout complexe z, on pose P(z)=z³−3z²+3z+7.

1. Vérifier que −1 est une racine de P, puis factoriser P(z).
2. Résoudre dans ℂ l’équation P(z)=0.
3. Placer les points d’affixes solutions dans le plan.
4. Déterminer la nature du triangle formé.

Exercice 3 (20 pts) Espace vectoriel : droite, plan, projection/symétrie.

Dans l’espace vectoriel E, on note D la droite vectorielle engendrée par u=i+j−2k, et P le plan vectoriel engendré par v=i−j et w=i+2j−k.

1. Montrer que P admet pour équation x+y+3z=0.
2. Définir la projection f sur P parallèlement à D.
3. Exprimer la symétrie g par rapport à P de direction D.

Exercice 4 (20 pts) Géométrie de l’espace : parallélisme + barycentre + relation vectorielle.

Dans l’espace E muni d’un repère (O,i,j,k), on donne : A(2,1,−1), B(−2,7,1), C(5,−3,1) et D(11,−12,−2).

1. Démontrer que (AB) et (CD) sont parallèles.
2. Déterminer a,b,c pour que D soit barycentre de (A,a),(B,b),(C,c).
3. Donner une relation du type OD = αOA + βOB + γOC .

Exercice 5 (20 pts) Trois pièces (probabilités, sans statistique).

1. Donner Ω.
2. Calculer P(E) : « une seule fois Pile ».
3. Donner la loi de X : nombre de Faces.
4. Calculer E(X) et V(X).

✅ Corrigé (réponses + méthode)

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🟩 PARTIE A — Corrigé

1)
I=∫₀¹(3x−2)dx = [(3/2)x² − 2x]₀¹ = (3/2)−2 = −1/2.
Donc ∫₁⁰(3x−2)dx = −I = 1/2.

2) f′(x)=2x ln x + x + 1/x.

3) lim U_n=5.

4) L=6.

5) |z₁|=2.

6) P(B)=5/8.

7) P(A∪B)=P(A)+P(B).

8) P(A∩B)=0,64.

9) |z|=1.

10) AG =(1/3)AB +(4/3)AC .

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🟦 PARTIE B — Corrigé (résultats clés)

Ex.1
U₂=0,7·800+300=860, U₃=0,7·860+300=902.
U_n+1=0,7U_n+300.
L=1000, V_n=1000−U_n ⇒ V_n+1=0,7V_n.
U_n=1000−200·0,7ⁿ⁻¹ et U_n→1000.

Ex.2
P(z)=(z+1)(z²−4z+7), solutions −1, 2±i√3.
Triangle équilatéral.

Ex.3
Plan : x+y+3z=0. Symétrie : g(X)=2f(X)−X.

Ex.4
AB=(-4,6,2), CD=(6,−9,−3)=−(3/2)AB.

Ex.5
Loi binomiale B(3,1/2) pour X.
E(X)=3/2, V(X)=3/4.