Équations polynomiales & nombres complexes
1. Un polynôme a autant de racines que son degré
Le théorème fondamental de l’algèbre affirme : un polynôme non constant à coefficients réels ou complexes a autant de racines (dans ℂ) que son degré.
📌 En NS4, cela signifie qu’une équation du 2e degré a toujours 2 racines dans ℂ, même si elles ne sont pas réelles.
2. Résolution d’un polynôme de degré 2
Équation : ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)
Δ = b² − 4ac
- Si Δ > 0 → 2 racines réelles distinctes.
- Si Δ = 0 → 1 racine double.
- Si Δ < 0 → 2 racines complexes conjuguées.
Exemple :
2x² + 3x + 5 = 0
Δ = 3² − 4×2×5 = 9 − 40 = −31 < 0.
Les racines sont :
x = (−3 ± i√31) / 4.
2x² + 3x + 5 = 0
Δ = 3² − 4×2×5 = 9 − 40 = −31 < 0.
Les racines sont :
x = (−3 ± i√31) / 4.
3. Forme factorisée d’un polynôme
Si z₁ et z₂ sont racines de ax² + bx + c, alors :
a(x − z₁)(x − z₂)
Si les racines sont complexes, elles apparaissent toujours par paires conjuguées si les coefficients du polynôme sont réels.
Exemple :
x² + 4x + 13 = 0
Δ = 16 − 52 = −36.
Racines : x = −2 ± 3i.
Forme factorisée : (x + 2 − 3i)(x + 2 + 3i).
x² + 4x + 13 = 0
Δ = 16 − 52 = −36.
Racines : x = −2 ± 3i.
Forme factorisée : (x + 2 − 3i)(x + 2 + 3i).
4. Relation entre coefficients et racines
Pour l’équation x² + px + q = 0 :
- S = somme des racines = −p
- P = produit des racines = q
📌 Très utile pour reconstruire un polynôme à partir de ses racines.
5. Polynômes du troisième et quatrième degré (idées NS4)
- On factorise souvent en recherchant une racine simple (réelle).
- Ensuite, on réduit le problème à un second degré.
- Les racines complexes apparaissent dans la factorisation finale.
Exemple :
Résoudre (x − 2)(x² + 4x + 5) = 0.
• racine réelle : x = 2
• résoudre x² + 4x + 5 = 0 → Δ = 16 − 20 = −4
→ racines : x = −2 ± i.
Solutions complètes : 2 ; −2 + i ; −2 − i.
Résoudre (x − 2)(x² + 4x + 5) = 0.
• racine réelle : x = 2
• résoudre x² + 4x + 5 = 0 → Δ = 16 − 20 = −4
→ racines : x = −2 ± i.
Solutions complètes : 2 ; −2 + i ; −2 − i.
6. Racines complexes et module/argument
Quand un exercice demande les racines d’une équation comme z³ = w ou z⁴ = w, on utilise :
zₖ = R1/n [cos((φ + 2kπ)/n) + i sin((φ + 2kπ)/n)]
où w = R(cos φ + i sin φ).
Exemple :
z⁴ = 16.
On écrit 16 = 16 (cos 0 + i sin 0).
R = 16 ; φ = 0 ; n = 4 → R1/4 = 2.
Solutions :
zₖ = 2 [cos((2kπ)/4) + i sin((2kπ)/4)], k = 0,1,2,3.
→ 2, 2i, −2, −2i.
z⁴ = 16.
On écrit 16 = 16 (cos 0 + i sin 0).
R = 16 ; φ = 0 ; n = 4 → R1/4 = 2.
Solutions :
zₖ = 2 [cos((2kπ)/4) + i sin((2kπ)/4)], k = 0,1,2,3.
→ 2, 2i, −2, −2i.
7. Méthode générale NS4 pour les équations polynomiales
- 1️⃣ Identifier le degré de l’équation.
- 2️⃣ Si degré 2 → ∆ et formules classiques.
- 3️⃣ Si degré ≥ 3 → chercher une racine simple, factoriser, réduire.
- 4️⃣ Si équation du type zⁿ = w → utiliser les arguments et modules.
- 5️⃣ Toujours vérifier les solutions dans l’équation initiale.
💡 Astuce Réussite Haïti :
Lorsque les coefficients du polynôme sont réels → les racines complexes viennent toujours par paires conjuguées.