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Maths 9e AF · Équations 1er degré

FICHE MATHS – 9ᵉ Année AF

Équations du 1er degré : définition, méthode et cas particuliers

🎯 Objectif de la fiche

Comprendre ce qu’est une équation et une solution, et savoir résoudre une équation du 1^er degré à une inconnue en utilisant les bonnes transformations (addition, soustraction, multiplication, division).

📌 1. Qu’est-ce qu’une équation ?

Une équation est une égalité contenant une inconnue (souvent notée x).

Résoudre une équation, c’est trouver les valeurs de l’inconnue qui rendent l’égalité vraie.

Exemple :

Équation : 3x − 5 = 7
On cherche : « Pour quelle valeur de x l’égalité est-elle vraie ? »
Si x = 4, alors 3×4 − 5 = 12 − 5 = 7 ✔

Solution d’une équation :
Toute valeur de l’inconnue qui vérifie l’égalité est appelée solution de l’équation.

📌 2. Équation du 1^er degré à une inconnue

Une équation du 1^er degré à une inconnue est une équation qui peut s’écrire sous la forme :

ax + b = 0

avec a et b des nombres réels, et a ≠ 0.

Exemples :

• 2x − 3 = 0
• −5x + 7 = 0
• 4x − 9 = 2  ⟶  4x − 11 = 0

📌 3. Propriétés utiles pour résoudre une équation

On peut transformer une équation sans changer ses solutions en :

• ajoutant ou en soustrayant le même nombre aux deux membres ;
• multipliant ou divisant les deux membres par un même nombre non nul.

Exemple :

3x − 5 = 10
On ajoute 5 aux deux membres : 3x − 5 + 5 = 10 + 5 ⟶ 3x = 15
On divise par 3 : x = 15 ÷ 3 = 5.

📌 4. Méthode générale de résolution

Idée : rassembler les termes avec x d’un côté, les nombres de l’autre.

Exemple 1

Résoudre : 4x + 7 = 3x − 2

1) On rassemble les x d’un côté, les nombres de l’autre :
4x − 3x = −2 − 7
⟶ x = −9

2) Vérification :
4(−9) + 7 = −36 + 7 = −29
3(−9) − 2 = −27 − 2 = −29
Les deux membres sont égaux → x = −9 est solution.

Exemple 2

Résoudre : 5 − 2x = 3x + 10

5 − 2x = 3x + 10
On rassemble : −2x − 3x = 10 − 5
−5x = 5
x = 5 ÷ (−5) = −1.

📌 5. Cas particuliers

5.1 Équation impossible (aucune solution)

2x + 1 = 2x − 3
On soustrait 2x des deux côtés : 1 = −3
Cette égalité est fausse.
Conclusion : l’équation n’a aucune solution.

5.2 Équation indéterminée (une infinité de solutions)

3x − 2 = 3x − 2
En soustrayant 3x des deux côtés : −2 = −2
Cette égalité est toujours vraie.
Conclusion : l’équation a une infinité de solutions (tous les nombres réels x conviennent).

• Si on arrive à une égalité fausse (par ex. 1 = 4) → aucune solution.
• Si on arrive à une égalité toujours vraie (par ex. 0 = 0) → toutes les valeurs de x sont solutions.

📌 6. Mise en équation d’un problème

Un élève pense à un nombre x. Il le multiplie par 4 puis ajoute 5. Il obtient 29.

1) Mise en équation : 4x + 5 = 29.

2) Résolution :
4x + 5 = 29
4x = 29 − 5 = 24
x = 24 ÷ 4 = 6.

Le nombre cherché est 6.

📝 7. Mini-quiz (3 questions)

1. Résoudre : 3x − 5 = 10

x = 3 x = 5 x = −5

2. Parmi ces équations, laquelle n’a aucune solution ?

2x + 1 = 0 4x − 3 = 4x + 2 5x = 5

3. On ajoute 7 à un nombre x, on obtient 20. Quelle est l’équation ?

x + 7 = 20 7x = 20 20 − x = 7

✅ Corrigé détaillé du mini-quiz

Q1.
3x − 5 = 10 ⟶ 3x = 10 + 5 = 15 ⟶ x = 15 ÷ 3 = 5. La bonne réponse est donc x = 5.

Q2.
4x − 3 = 4x + 2 En soustrayant 4x des deux côtés, on obtient : −3 = 2, ce qui est impossible. L’équation n’a donc aucune solution.

Q3.
« On ajoute 7 à un nombre x, on obtient 20 » se traduit par : x + 7 = 20. En effet, on part de x, on ajoute 7, le résultat est 20.