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Domaine de définition d’une fonction

1. Définition

Le domaine de définition d’une fonction est l’ensemble de toutes les valeurs de x pour lesquelles l’expression de la fonction est possible, c’est-à-dire ne pose aucune contradiction mathématique.

2. Situations qui peuvent rendre une expression interdite

• Division par zéro : un dénominateur ne peut jamais être égal à 0.
• Logarithme : on doit toujours avoir l’intérieur du ln strictement positif.
• Racine carrée : l’expression sous √ doit être ≥ 0.
• Fonctions composées : on doit vérifier les contraintes de chaque élément.

3. Règles essentielles

a) Pour un logarithme :
Si la fonction contient ln(g(x)) alors :
g(x) > 0.

b) Pour une fraction :
Si la fonction contient a(x) / b(x) alors :
b(x) ≠ 0.

c) Pour une racine carrée :
Si la fonction contient √g(x) alors :
g(x) ≥ 0.

⚠️ Les fonctions exponentielles (eˣ) sont définies pour tout x ∈ ℝ : elles ne posent jamais de restriction.

4. Exemples classiques (issus des sujets officiels NS4)

Exemple 1 :
f(x) = ln(x – 5)
Condition : x – 5 > 0 → x > 5.

Exemple 2 :
f(x) = ln(1 + x) / (x – 2)
Conditions :
• 1 + x > 0 → x > –1
• x – 2 ≠ 0 → x ≠ 2

Donc : D_f = ]–1 ; 2[ ∪ ]2 ; +∞[

Exemple 3 :
f(x) = √(3x – 9)
Condition : 3x – 9 ≥ 0 → x ≥ 3.

Exemple 4 :
f(x) = (eˣ – 4)/(x² – 9)
Condition : x² – 9 ≠ 0 → x ≠ –3 et x ≠ 3
Domaine : ℝ \ {–3 ; 3}

5. Méthode générale pour trouver D_f

• Écrire l’expression.
• Identifier les contraintes (ln, fraction, racine…).
• Résoudre les contraintes.
• Combiner les intervalles pour obtenir le domaine final.

💡 Astuce Réussite Haïti : Toujours commencer par repérer les points interdits (division par 0, log négatif). Ensuite, construire les intervalles autorisés.